Determine:
f^prime(x), onde f(x)=x^a cdot cos pi x(x^2+1)^2 e a é uma constante e simplifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = x^a cos(pi x)(x^2+1)^2
e pede f'(x). Para isso vamos usar a regra do produto para o numerador, a regra da cadeia para o denominador e em seguida a regra do quociente.

Passo 2

Calcular a derivada do numerador N(x)=x^acos(pi x) pela regra do produto:
N'(x) = ddx(x^a),cos(pi x) + x^a,ddx(cos(pi x))
N'(x) = a,x^a-1cos(pi x);-;pi,x^asin(pi x)

Passo 3

Calcular a derivada do denominador D(x)=(x^2+1)^2 pela regra da cadeia:
D'(x) = 2(x^2+1)cdotddx(x^2+1) =2(x^2+1)cdot2x =4x(x^2+1)

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
f'(x) = N'(x),D(x);-;N(x),D'(x)D(x)^2
Substituindo os valores de N,N',D,D':
f'(x) = l(a x^a-1cos(pi x)-pi x^asin(pi x)r),(x^2+1)^2 ;-;x^acos(pi x),4x(x^2+1)(x^2+1)^4

Passo 5

Fatorar (x^2+1) no numerador e simplificar a potência no denominador:
f'(x) = (x^2+1)l[(a x^a-1cos(pi x)-pi x^asin(pi x))(x^2+1) -4x^a+1cos(pi x)r](x^2+1)^4 = (a x^a-1cos(pi x)-pi x^asin(pi x))(x^2+1)-4x^a+1cos(pi x)(x^2+1)^3

Passo 6

Agrupar termos em cos(pi x) e sin(pi x). No numerador temos
l(a x^a-1(x^2+1)-4x^a+1r)cos(pi x) ;-;pi x^a(x^2+1)sin(pi x)
Note que
a x^a-1(x^2+1)-4x^a+1 = x^a-1l(a(x^2+1)-4x^2r) = x^a-1l((a-4)x^2 + ar)

Resposta

f'(x) = x^a-1l((a-4)x^2 + ar)cos(pi x) ;-;pi,x^a,(x^2+1),sin(pi x)(x^2+1)^3

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