Determine d yd x, sabendo que:
a) x y=sen(x y)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x,y = sen(x,y)
e pede dfracdydx. O conteúdo aqui é derivação implícita, usando regra do produto em x,y e regra da cadeia em sen(x,y).

Passo 2

Derivando a esquerda em relação a x (produto xcdot y(x)):
ddxl(x,yr) = y + x,dydx

Passo 3

Derivando a direita em relação a x (função sen(u) com u=x,y):
ddxl[sen(x,y)r] = cos(x,y),ddx(x,y) = cos(x,y),l(y + x,tfracdydxr)

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
y + x,dydx = cos(x,y),l(y + x,tfracdydxr)
Colocando A = y + x,tfracdydx, fica
A = cos(x,y),A Longrightarrow Al[1 - cos(x,y)r] = 0

Passo 5

Da última igualdade surgem dois casos:
  1. 1-cos(x,y)=0, ou seja cos(x,y)=1.
  2. A=0, isto é
y + x,dydx = 0 Longrightarrow dydx = -,yx
Como o caso cos(x,y)=1 só ocorre em pontos isolados (e na prática não gera curva diferenciável não‐trivial), a expressão geral da derivada implícita é
dydx = -,yx

Resposta

dydx = -,yx

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