Determine :
d yd x sabendo que y^x=x^y+1

Passo 1

O enunciado dá a relação
y^x = x^,y+1
e pede dydx. Para isso vamos usar diferenciação implícita e, como há potências em que a base e o expoente dependem de x, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para facilitar.

Passo 2

Tomando ln em ambos os lados:
lnl(y^xr) = lnl(x^,y+1r)
Pelas propriedades de logaritmo, obtemos
x,ln y = (y+1),ln x

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo:
ddxl[x,ln yr] = 1cdotln y + xcdot1y,dydx = ln y + xy,y'
Do lado direito:
ddxl[(y+1),ln xr] = y',ln x + (y+1)cdot1x = y',ln x + y+1x
Igualando as duas derivadas:
ln y + xy,y' = y',ln x + y+1x

Passo 4

Isolamos y'. Primeiro, agrupamos termos com y' num lado:
xy,y' - y',ln x = y+1x - ln y
Fatorando y':
y',l(xy - ln xr) = y+1x - ln y
Logo,
y' = y+1x - ln y xy - ln x

Resposta

dydx = dfracy+1x - ln ydfracxy - ln x

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