Exercício 4. (Apostol seção 4.4 exercícios 1) Sejam T: V V, T1: V V e T2: V V transformações lineares.
Se lambda é uma autovalor de T, então a lambda é um autovalor de a T.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T:Vto V e um escalar a. Queremos mostrar que, se lambda é autovalor de T, então alambda é autovalor da transformação aT dada por (aT)(v)=a,T(v).

Passo 2

Por definição, lambda é autovalor de T se existe vetor vneq 0 em V tal que
T(v)=lambda,v
Suponha que esse vetor v exista.

Passo 3

Aplicando aT ao mesmo vetor v, obtemos
(aT)(v)=a,T(v)=a,(lambda,v)=(alambda),v
Como vneq0 e (aT)(v)=(alambda),v, concluímos que alambda satisfaz a definição de autovalor para aT.

Resposta

alambda é autovalor de aT.

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