Exercício 4. (Apostol seção 4.4 exercícios 1) Sejam
e
transformações lineares.
Se
é uma autovalor de
, então
é um autovalor de
.
Se
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
e um escalar
. Queremos mostrar que, se
é autovalor de
, então
é autovalor da transformação
dada por
.
Passo 2
Por definição,
é autovalor de
se existe vetor
em
tal que
Suponha que esse vetor
exista.
Passo 3
Aplicando
ao mesmo vetor
, obtemos
Como
e
, concluímos que
satisfaz a definição de autovalor para
.