Determine d^2 yd x^2 usando derivação implícita:
4 x^2+y^2=1;

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
4x^2+y^2=1
e pede tfracd^2ydx^2.
Conteúdo: derivação implícita até segunda ordem. Vamos derivar uma vez para obter tfracdydx e depois derivar de novo para achar tfracd^2ydx^2.

Passo 2

Derivando ambos os lados de 4x^2+y^2=1 em relação a x:
ddx(4x^2)+ddx(y^2)=ddx(1)
8x + 2y,dydx = 0
Isolando tfracdydx:
2y,dydx = -8x Longrightarrow dydx = -8x2y = -4xy

Passo 3

Agora derivamos tfracdydx = -tfrac4xy em relação a x. É mais fácil ver como
dydx = -4x,y^-1
Aplicando a regra do produto e a cadeia:
d^2ydx^2 = ddxl(-4xr),y^-1 +(-4x),ddxl(y^-1r)
Calculando cada termo:
ddx(-4x) = -4, ddx(y^-1) = -1cdot y^-2,dydx
Logo,
d^2ydx^2 = -4,y^-1 +(-4x)l(-y^-2,tfracdydxr) = -4y + 4xy^2;dydx
Substituindo tfracdydx=-tfrac4xy:
d^2ydx^2 = -4y + 4xy^2l(-4xyr) = -4y - 16x^2y^3 = -4y^2 + 16x^2y^3
Mas da equação original 4x^2+y^2=1 vem y^2+4x^2=1, então
4y^2+16x^2=4,(y^2+4x^2)=4cdot1=4
Portanto
d^2ydx^2 = -4y^3

Resposta

d^2ydx^2 = -4y^3

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