Determine d^2 yd x^2 usando derivação implícita:
3 x^2-2 y^2=6 x;

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
3x^2-2y^2=6x
e pede dfracd^2ydx^2.
Para resolver vamos usar derivação implícita (regra da cadeia) para obter dfracdydx e em seguida derivar esse resultado para achar dfracd^2ydx^2.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
3x^2-2y^2=6x
em relação a x, usando dfracddx(y^2)=2y,dfracdydx, obtemos
6x ;-;4y,dydx ;=;6
Isolando dfracdydx:
-4y,dydx = 6 - 6x Longrightarrow dydx = 6x-64y = 3(x-1)2y

Passo 3

Agora derivamos
dydx = 3(x-1)2y
em relação a x. Escrevendo como
dydx = 32,(x-1),y^-1,
temos
d^2ydx^2 = 32l[ddx(x-1),y^-1 + (x-1),ddx(y^-1)r]
Aplicando
dfracddx(x-1)=1 e
dfracddx(y^-1)=-y^-2,dfracdydx, resulta
d^2ydx^2 = 32l[y^-1 - (x-1),y^-2,dydxr] = 32l[1y - (x-1)y^2cdot3(x-1)2yr]
Colocando sobre denominador comum 2y^3:
d^2ydx^2 = 32,2y^2-3(x-1)^22y^3 = 6y^2-9(x-1)^24y^3

Resposta

d^2ydx^2 = 6y^2-9(x-1)^24y^3

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