Determine d yd x usando derivação implícita:
x e^-y+y e^-x=3

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x e^-y + y e^-x = 3
e pede dydx. O conteúdo envolvido é diferenciação implícita, usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
– Para x e^-y, temos
ddxl(x e^-yr) = 1cdot e^-y + xcdotl(-e^-yr)dydx = e^-y - x e^-ydydx
– Para y e^-x, temos
ddxl(y e^-xr) = dydxcdot e^-x + ycdotl(-e^-xr) = e^-xdydx - y e^-x
Somando e igualando a zero (já que ddx(3)=0), vem
e^-y - x e^-ydydx + e^-xdydx - y e^-x = 0

Passo 3

Agrupando os termos que contêm dydx:
l(-x e^-y + e^-xr)dydx + l(e^-y - y e^-xr) = 0

Passo 4

Isolando dydx:
l(e^-x - x e^-yr)dydx = y e^-x - e^-y,
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dydx = y e^-x - e^-ye^-x - x e^-y

Resposta

dydx = y e^-x - e^-ye^-x - x e^-y

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