Determine o vetor tangente unitário mathbfT(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir:
r(t)=a cos t i+b sin t j+t k

Passo 1

O enunciado nos dá a curva vetorial
r(t)=acos t,i+bsin t,j+t,k
e pede o vetor tangente unitário T(t). Para isso vamos usar que
T(t)=dfracr'(t)|r'(t)|,
ou seja, precisamos calcular a derivada da curva e em seguida sua norma.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t) =ddtl(acos t,i+bsin t,j+t,kr) =-asin t,i+bcos t,j+1,k

Passo 3

Agora achamos a norma de r'(t):
|r'(t)| =raiz(-asin t)^2+(bcos t)^2+1^2 =raiza^2sin^2t+b^2cos^2t+1

Passo 4

Por fim, o vetor tangente unitário é
T(t) =r'(t)|r'(t)| =-asin t,i+bcos t,j+k raiza^2sin^2t+b^2cos^2t+1

Resposta

T(t) =-asin t,i+bcos t,j+k raiza^2sin^2t+b^2cos^2t+1

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