Determine d^2 yd x^2 usando derivação implícita:
x^2 y=1.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^2y = 1
e pede a derivada segunda d^2ydx^2. Vamos usar derivação implícita duas vezes: primeiro para achar dydx e depois para obter d^2ydx^2.

Passo 2

Derivando em relação a x a relação x^2y=1 e aplicando a regra do produto em x^2cdot y, obtemos
ddx(x^2y)=ddx(1) Longrightarrow 2x,y + x^2,dydx = 0

Passo 3

Isolando dydx na equação anterior:
x^2,dydx = -2x,y Longrightarrow dydx = -2x,yx^2 = -2yx

Passo 4

Para calcular d^2ydx^2, derivamos dydx = -2y,x^-1. Usando a regra do produto em -2y e x^-1,
d^2ydx^2 = ddxl(-2y,x^-1r) = -2l(x^-1dydx + ycdot(-1)x^-2r)

Passo 5

Substituindo dydx=-tfrac2yx na expressão acima e simplificando,
d^2ydx^2 = -2y'x + 2yx^2 = -2-2y/xx + 2yx^2 = 4yx^2 + 2yx^2 = 6yx^2

Resposta

d^2ydx^2 = 6yx^2
Como da relação original y=1x^2, também podemos escrever
d^2ydx^2 = 6x^4

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