Determine o vetor tangente unitário mathbfT(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir:
r(t)=t i-2 t^2 j+3 t^3 k

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=t,i-2t^2,j+3t^3,k
e pede o vetor tangente unitário T(t). Vamos usar a definição
T(t)=r'(t)|r'(t)|

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t) =ddtl[tr]i -ddtl[2t^2r]j +ddtl[3t^3r]k =1,i-4t,j+9t^2,k

Passo 3

A norma de r'(t) é
|r'(t)| =raiz(1)^2+(-4t)^2+(9t^2)^2 =raiz1+16t^2+81t^4

Passo 4

Agora obtemos o vetor tangente unitário dividindo cada componente pela norma:
T(t) =r'(t)|r'(t)| =1,i-4t,j+9t^2,k raiz1+16t^2+81t^4

Resposta

T(t) =i-4t,j+9t^2,k raiz1+16t^2+81t^4

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