Determine o vetor normal unitário N(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
N(t)=d widehatT / d t|d widehatT / d t|
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
r(t)=t i-2 t^2 j+3 t^3 k

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário
N(t)=dfracdwidehat T/dt|dwidehat T/dt|
para a curva
r(t)=t, i-2t^2, j+3t^3, k
O que vamos usar:
  1. Calcular r'(t) e seu módulo para obter
    widehat T(t)= r'(t)/| r'(t)|.
  2. Diferenciar widehat T(t) para achar dwidehat T/dt.
  3. Calcular o módulo |dwidehat T/dt|.
  4. Dividir componente a componente para ter N(t).

Passo 2

Calculemos primeiro
r'(t)=llang<= 1,,-4t,,9t^2rrang<=,
| r'(t)|=raiz1+( -4t)^2+(9t^2)^2 =raiz1+16t^2+81t^4
Logo o vetor tangente unitário é
widehat T(t) = r'(t)| r'(t)| =lang<= 1,,-4t,,9t^2rang<=raiz1+16t^2+81t^4

Passo 3

Agora diferenciamos cada componente de widehat T(t).
Para abreviar, note
D(t)=raiz1+16t^2+81t^4, D'(t)=16t+162t^3D(t)
Então, usando a regra do quociente,
dwidehat Tdt =lang<= -D'(t)D(t)^2,, -4D(t)-(-4t)D'(t)D(t)^2,, 18t,D(t)-9t^2D'(t)D(t)^2 rang<=
Simplificando os numeradores,
dwidehat Tdt =1D(t)^2, llang<= -(16t+162t^3),;-4+324t^4,;18t+144t^3 rrang<=

Passo 4

O módulo de dwidehat T/dt é
|dwidehat Tdt| =1D(t)^2 raiz(16t+162t^3)^2+(-4+324t^4)^2+(18t+144t^3)^2

Passo 5

Finalmente, o vetor normal unitário é
N(t) =dwidehat Tdt |dwidehat Tdt| =lang<= -(16t+162t^3),,-4+324t^4,,18t+144t^3rang<= raiz(16t+162t^3)^2+(-4+324t^4)^2+(18t+144t^3)^2

Resposta

boxed N(t) =llang<= -(16t+162t^3),,-4+324t^4,,18t+144t^3rrang<= raiz(16t+162t^3)^2+(-4+324t^4)^2+(18t+144t^3)^2

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