Determine d yd x usando derivação implícita:
y e^x-x^2=x+y;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
y,e^x - x^2 = x + y
e pede dydx usando diferenciação implícita. Para isso vamos aplicar a regra do produto (pois o lado esquerdo é ycdot e^x-x^2) e a regra da cadeia (para derivar e^x-x^2), lembrando que y é função de x.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x:
ddxl(y,e^x - x^2r) = ddx(x + y)
No lado esquerdo, pela regra do produto e da cadeia,
ddxl(y,e^x - x^2r) = y',e^x - x^2 ;+; y,e^x - x^2,(1 - 2x)
No lado direito,
ddx(x + y) = 1 + y'

Passo 3

Igualando as derivadas e agrupando os termos com y':
y',e^x - x^2 + y,e^x - x^2,(1 - 2x) = 1 + y'
Tirando todos os y' para o mesmo lado,
y',e^x - x^2 - y' = 1 - y,e^x - x^2,(1 - 2x)

Passo 4

Fatorando y' no lado esquerdo,
y',l(e^x - x^2 - 1r) = 1 - y,e^x - x^2,(1 - 2x)

Resposta

dydx = 1 - y,e^x - x^2,(1 - 2x)e^x - x^2 - 1

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