Determine d yd x.
y=arctg(raizx)

Passo 1

Resumo do problema: temos a função y=arctg(√x) e queremos encontrar dy/dx. O assunto é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de arctan.

Passo 2

Identificar a composição: defina u(x)=√x como função interna e f(u)=arctg(u) como função externa. Assim, y=f(u(x)).

Passo 3

Derivada da parte externa: sabemos que a derivada de arctg(u) em relação a u é f’(u)=1/(1+u^2).
Derivada da parte interna: como u(x)=√x=x^{1/2}, temos u’(x)= 1/(2√x).

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia: dy/dx=f’(u)·u’(x). Substituindo as derivadas, Substituir u=√x em f’(u): f’(u)=1/(1+(√x)^2)=1/(1+x). Logo, dy/dx=1/(1+x)·1/(2√x).

Passo 5

Simplificar a expressão resultante: dy/dx=1/(2√x·(1+x)).

Resposta

dfracdydx=dfrac12raizx,(1+x)

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