Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
x d y+(x+y) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,dy + (x+y),dx = 0
que é de primeira ordem e pode ser redutível a homogênea. Vamos usar a teoria de funções homogêneas e a substituição y= vx para solucioná-la.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma explícita dy/dx e verificamos a dependência em y/x:
xdydx + x + y = 0
dydx = -1 - yx
Note que o lado direito é função apenas de y/x, então é homogênea.

Passo 3

Aplicamos a substituição y = vx, logo dy/dx = v + x,dv/dx. Substituindo em
v + xdvdx = -1 - v
obtém-se
xdvdx = -1 - 2v
ou
dvdx = -1 + 2vx

Passo 4

Agora separamos variáveis:
dv1 + 2v = -dxx
Integramos ambos os lados:
integral dv1 + 2v = integral -dxx
tfrac12lnlvert 1 + 2vrvert = -lnlvert xrvert + C
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
1 + 2v = C,x^-2

Passo 5

Voltando à variável original y/x = v, temos
1 + 2yx = C,x^-2
Multiplicando por x e reorganizando, chega-se à forma implícita mais simples:

Passo 6

Substituindo e simplificando, a solução geral fica
x^2 + 2xy = C''
onde C'' é constante arbitrária.

Passo 7

Esta é a família de curvas que satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

x^2 + 2xy = C

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