Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é de primeira ordem e pode ser redutível a homogênea. Vamos usar a teoria de funções homogêneas e a substituição
para solucioná-la.
Passo 2
Primeiro, colocamos em forma explícita
e verificamos a dependência em
:
Note que o lado direito é função apenas de
, então é homogênea.
Passo 3
Aplicamos a substituição
, logo
. Substituindo em
obtém-se
ou
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
Passo 5
Voltando à variável original
, temos
Multiplicando por
e reorganizando, chega-se à forma implícita mais simples:
Passo 6
Substituindo e simplificando, a solução geral fica
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Esta é a família de curvas que satisfaz a equação diferencial dada.