Questão 1. Dadas as equações diferenciais abaixo, verifique se y=f(x) dada, é solução geral da EDO. Em caso afirmativo, determine a solução particular, dadas as condições iniciais em cada item.
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Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
(dydx)^2 + 8x^3 dydx = 16x^2 y
E uma função proposta para ser a solução geral dessa EDO:
y = 2c x^2 + c^2
Além disso, temos uma condição inicial:
y(1) = -1
Nosso objetivo é:
  1. Verificar se $ y = 2c x^{2} + c^{2} $ realmente resolve a EDO dada.
  2. Se for, encontrar a solução particular que satisfaz a condição inicial $ y(1) = -1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função proposta é realmente uma solução da EDO. Para isso, precisamos substituir $ y $ e sua derivada na equação e ver se a igualdade é válida.
Passo 2.1: Calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
y
Passo 2.2: Substituir $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $ na EDO.
y
Passo 2.3: Simplificar os termos.
x
Passo 2.4: Verificar se os dois lados da igualdade são iguais.
y = 2c x^2 + c^2 dydx = 4c x
Como ambos os lados são iguais, confirmamos que $ y = 2c x^{2} + c^{2} $ é, de fato, uma solução geral da EDO dada.

Passo 3

Agora que verificamos que a função proposta é uma solução geral, vamos encontrar a solução particular usando a condição inicial $ y(1) = -1 $.
Passo 3.1: Aplicar a condição inicial na solução geral para encontrar o valor de $ c $.
y(1) = -1
Passo 3.2: Resolver a equação quadrática para $ c $.
c
Passo 3.3: Substituir $ c = -1 $ na solução geral para obter a solução particular.
y(1) = 2c (1)^2 + c^2 = -1 2c + c^2 = -1

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial $ y(1) = -1 $ é:
y(1) = -1

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