Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
D, onde é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular I=integral duplaD2,sin(x^2+y),dA, onde D é a região do primeiro quadrante entre os círculos de raios 1 e 3. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares: vamos usar x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares, a região D fica descrita por 1<= r<=3 e 0<=theta<=tfracpi2.
Substituindo x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta na integral, obtemos
I=integraltheta=0^pi/2integralr=1^32,sinl(r^2cos^2theta +rsinthetar);r,dr,dtheta
Essa é a forma em coordenadas polares; a integral não possui primitiva elementar em termos de funções usuais, então deixamos no formato iterado acima.

Resposta

integral0^pi/2integral1^32,r,sinl(r^2cos^2theta +rsinthetar),dr,dtheta

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