Determine d yd x=y^prime da função dada implicitamente pela equação e^y+cos (x)=x y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
e^y + cos(x) = x,y
e pede a derivada dydx=y'. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, lembrando que y depende de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
  • ddxl(e^yr) = e^y,y' (regra da cadeia),
  • ddxl(cos(x)r) = -sin(x),
  • ddxl(x,yr) = x,y' + y (regra do produto).
    Logo,
e^y,y' ;-;sin(x) ;=; x,y' + y

Passo 3

Agora isolamos y'. Primeiro, agrupamos os termos com y':
e^y,y' - x,y' = y + sin(x)
Em seguida, fatoramos y':
y',l(e^y - xr) = y + sin(x)
Por fim, dividimos:
y' = y + sin(x)e^y - x

Resposta

y' = y + sin(x)e^y - x

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