Determine a derivada logarítmica da função y=x^arcsec(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada logarítmica de
y = x^arcsec(x)
O conteúdo é diferenciação logarítmica: vamos tirar o log natural em ambos os lados para simplificar a potência variável.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de y:
ln y = arcsec(x),ln x

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo, temos
ddx(ln y)=1y,y'
Do lado direito, usamos a regra do produto:
ddxl(arcsec(x)ln xr) =ddxl(arcsec(x)r),ln x +arcsec(x),ddx(ln x)
Sabemos que
ddxl(arcsec(x)r) =1lvert xrvertraizx^2-1 e ddx(ln x)=1x
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1y,y' =1lvert xrvertraizx^2-1,ln x +arcsec(x),1x

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y;gl(ln xlvert xrvertraizx^2-1 +arcsec(x)xgr)

Passo 5

Voltando à função original y=x^arcsec(x), obtemos
y' = x^arcsec(x), gl(ln xlvert xrvertraizx^2-1 +arcsec(x)xgr)

Resposta

y' = x^arcsec(x), gl(ln xlvert xrvertraizx^2-1 +arcsec(x)xgr)

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