Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y)=tg^-1((x+y)^-2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=tg^-1l((x+y)^-2r)
e pede o maior conjunto em que f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis, que se estabelece analisando o domínio das operações envolvidas (soma, potência, recíproco e tg^-1).

Passo 2

Considere a parte interna
g(x,y)=(x+y)^-2
Para que essa potência com expoente -2 faça sentido em R, precisamos de
x+yneq0,
pois não podemos dividir por zero.

Passo 3

A função tg^-1colonRtol(-tfracpi2,tfracpi2r) é contínua em todo R. Logo, o domínio natural de f é exatamente o domínio de g, isto é,
D=(x,y)inR^2mid x+yneq0

Passo 4

Cada operação usada—soma (x,y)mapsto x+y, potência ,tmapsto t^-2 em tneq0, e tg^-1 em toda R—é contínua em seu domínio. A composição de funções contínuas resulta em função contínua. Portanto, f é contínua em todo D.

Resposta

O maior conjunto em que f é contínua é
(x,y)inR^2mid x+yneq0

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