Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 6 x^3 y2 x^4+y^4

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=6x^3y2x^4+y^4
quando (x,y)to(0,0). Em limites multivariáveis, para verificar se o limite existe, um caminho padrão é ver se diferentes trajetórias de aproximação dão o mesmo valor.

Passo 2

Suponha que nos aproximemos de (0,0) pela reta y=mx, onde m é constante. Então
y = m x Longrightarrow y^4 = m^4 x^4
e a expressão fica
6x^3,y2x^4+y^4 = 6x^3,(m x)2x^4 + m^4x^4 = 6m,x^4(2+m^4)x^4 = 6m2+m^4

Passo 3

O valor
6m2+m^4
depende de m. Por exemplo, para m=0 obtemos 0, mas para m=1 obtemos
tfrac6cdot12+1^4=2. Como a aproximação pela reta y=mx dá resultados diferentes conforme m, o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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