Determine d zd t, usando a regra da cadeia.
z=e^2 x y, x=t^2, y=t^3

Passo 1

O enunciado define
z = e^2x,y, x = t^2, y = t^3
e pede dzdt usando a regra da cadeia. O conteúdo envolvido é a derivada de função de várias variáveis composta:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z = e^2x,y,
temos
partial zpartial x = 2e^2x,y, partial zpartial y = e^2x

Passo 3

Calculamos agora dxdt e dydt. Como x = t^2 e y = t^3,
dxdt = 2t, dydt = 3t^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = l(2e^2x,yr),(2t) + l(e^2xr),(3t^2)

Passo 5

Substituímos x = t^2 e y = t^3 na expressão anterior:
dzdt = 2e^2t^2,t^3,(2t) + e^2t^2,(3t^2) = 4t^4 e^2t^2 + 3t^2 e^2t^2 = t^2 e^2t^2,(4t^2 + 3)

Resposta

dzdt = t^2 e^2t^2,(4t^2 + 3)

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