Determine a solução geral da equação: doty+2 t y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
doty + 2,t,y = 0,
que é uma equação linear homogênea. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato padrão
doty + p(t),y = 0,
identificando p(t)=2t. O fator integrante é
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral 2t,dtr) = expl(t^2r)

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
exp(t^2),doty + 2t,exp(t^2),y = 0
O lado esquerdo é justamente a derivada do produto exp(t^2),y, pois
ddtl(e^t^2,yr) = e^t^2,doty + 2t,e^t^2,y
Logo a equação vira
ddtl(e^t^2,yr) = 0

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a t,
e^t^2,y = C,
onde C é constante de integração. Finalmente isolamos y:
y(t) = C,e^-t^2

Resposta

A solução geral é
y(t) = C,e^-t^2,
onde C é uma constante arbitrária.

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