Determine D12 f(x, y) e D21 f(x, y) e verifique se D12 f(x, y)=D21 f(x, y). (Pg 963)
f(x, y)=x^2y-yx^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais mistas D12f(x,y)=partialpartial yl(fx(x,y)r) e D21f(x,y)=partialpartial xl(fy(x,y)r) da função
f(x,y)=x^2y-yx^2
Para isso vamos usar a regra de derivação parcial: ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, e vice-versa, aplicando a regra do poder.

Passo 2

Calculamos primeiro
fx(x,y)=partialpartial xl(x^2y^-1-yx^-2r)
Tratando y^-1 como constante e usando ddxx^2=2x e ddxx^-2=-2x^-3, obtemos
fx(x,y)=2x,y^-1-ycdot(-2x^-3)=2xy+2yx^3

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y:
D12f(x,y)=fxy(x,y)=partialpartial yl(2xy+2yx^3r)
Aqui x é constante, então partialpartial y(2x,y^-1)=2xcdot(-1)y^-2=-tfrac2xy^2 e partialpartial y(2y,x^-3)=2x^-3. Logo
D12f(x,y)=-2xy^2+2x^3

Passo 4

Agora calculamos
fy(x,y)=partialpartial yl(x^2y-yx^2r)
Tratando x como constante, partialpartial y(x^2y^-1)=-x^2,y^-2 e partialpartial y(y,x^-2)=x^-2. Assim
fy(x,y)=-x^2y^2-1x^2

Passo 5

Finalmente derivamos fy em relação a x:
D21f(x,y)=fyx(x,y)=partialpartial xl(-x^2y^-2-x^-2r)
Aqui y é constante, então partialpartial x(-x^2y^-2)=-2x,y^-2 e partialpartial x(-x^-2)=-(-2)x^-3=2x^-3. Logo
D21f(x,y)=-2xy^2+2x^3

Passo 6

Comparando os resultados, vemos que
D12f(x,y)= -2xy^2+2x^3 e D21f(x,y)= -2xy^2+2x^3,
ou seja, são iguais.

Resposta

D12f(x,y)=-2xy^2+2x^3, D21f(x,y)=-2xy^2+2x^3,
logo D12f(x,y)=D21f(x,y).

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