Determine D12 f(x, y) e D21 f(x, y) e verifique se D12 f(x, y)=D21 f(x, y). (Pg 963)
f(x, y)=e^2 x sin y.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais mistas D12f(x,y) e D21f(x,y) de
f(x,y)=e^2xsin y
e verificar se elas coincidem. O conteúdo necessário é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e o uso do teorema de Schwarz (Clairaut), que garante igualdade das mistas quando f é C^2.

Passo 2

Primeiro calculamos
D1f(x,y)=partialpartial xl(e^2xsin yr) =2e^2xsin y
Em seguida,
D12f(x,y)=partialpartial yl(D1f(x,y)r) =partialpartial yl(2e^2xsin yr) =2e^2xcos y

Passo 3

Agora calculamos
D2f(x,y)=partialpartial yl(e^2xsin yr) =e^2xcos y,
e daí
D21f(x,y)=partialpartial xl(D2f(x,y)r) =partialpartial xl(e^2xcos yr) =2e^2xcos y

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
D12f(x,y)=2e^2xcos y e D21f(x,y)=2e^2xcos y,
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D12f(x,y)=D21f(x,y)
em todo o domínio, coerente com o teorema de Schwarz.

Resposta

D12f(x,y)=D21f(x,y)=2e^2xcos y

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