Determine as derivadas parciais indicadas, utilizando dois métodos: (a) regra da cadeia, (b) fazendo as substituições de
e
antes da diferenciação. (Pg 956)
.
Passo 1
O enunciado define
e pede as derivadas parciais
e
de duas formas:
(a) aplicando a regra da cadeia multidimensional para , usando
e
e as derivadas de
e
em relação a
;
(b) primeiro substituindo e
em
e depois diferenciando diretamente.
(a) aplicando a regra da cadeia multidimensional para
(b) primeiro substituindo
Passo 2
Calculamos
e
. Como
, pela derivação de exponencial e da razão:
Passo 3
Usando a regra da cadeia para
:
Como
e
, temos
e
. Logo,
Substituindo
e
vê-se que
que se cancelam. Portanto
Passo 4
Agora
pela cadeia:
Como
e
,
Substituindo
e
e simplificando dá
então
E como
, concluímos
Passo 5
Pelo método da substituição direta, escrevemos
Então
que coincide com os resultados do passo anterior.