Determine as derivadas parciais indicadas, utilizando dois métodos: (a) regra da cadeia, (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação. (Pg 956)
u=e^yx ; x=2 r cos t ; y=4 r sin t ; partial upartial r ; partial upartial t.

Passo 1

O enunciado define
u = e^yx, x = 2rcos t, y = 4rsin t
e pede as derivadas parciais partial upartial r e partial upartial t de duas formas:
(a) aplicando a regra da cadeia multidimensional para u(x,y), usando partial upartial x e partial upartial y e as derivadas de x e y em relação a r,t;
(b) primeiro substituindo x(r,t) e y(r,t) em u e depois diferenciando diretamente.

Passo 2

Calculamos partial upartial x e partial upartial y. Como u=e^y/x, pela derivação de exponencial e da razão:
partial upartial x = e^yxcdotpartialpartial xl(tfracyxr) = e^yxcdotl(-tfracyx^2r),
partial upartial y = e^yxcdotpartialpartial yl(tfracyxr) = e^yxcdotl(tfrac1xr)

Passo 3

Usando a regra da cadeia para partial upartial r:
partial upartial r = partial upartial x,partial xpartial r + partial upartial y,partial ypartial r
Como x=2rcos t e y=4rsin t, temos partial xpartial r=2cos t e partial ypartial r=4sin t. Logo,
partial upartial r = e^yxl(-tfracyx^2cdot2cos t + tfrac1xcdot4sin tr)
Substituindo x=2rcos t e y=4rsin t vê-se que
-yx^2,2cos t = -4rsin t(2rcos t)^2,2cos t = -2sin trcos t, 1x,4sin t = 4sin t2rcos t = 2sin trcos t,
que se cancelam. Portanto
partial upartial r=0

Passo 4

Agora partial upartial t pela cadeia:
partial upartial t = partial upartial x,partial xpartial t + partial upartial y,partial ypartial t
Como partial xpartial t=-2rsin t e partial ypartial t=4rcos t,
partial upartial t = e^yxl(-tfracyx^2(-2rsin t) + tfrac1x(4rcos t)r)
Substituindo x e y e simplificando dá
-yx^2(-2rsin t) = 2rsin t;yx^2 = 2tan^2 t, 1x(4rcos t) = 2,
então
partial upartial t = e^yxl(2tan^2 t +2r) = e^yx;2sec^2 t
E como yx=2tan t, concluímos
partial upartial t = 2,e^2tan tsec^2 t

Passo 5

Pelo método da substituição direta, escrevemos
u(r,t) = e^4rsin t2rcos t = e^2tan t
Então
partial upartial r = 0, partial upartial t = e^2tan tcdotddt(2tan t) = e^2tan t;2sec^2 t,
que coincide com os resultados do passo anterior.

Resposta

partial upartial r = 0, partial upartial t = 2,e^2tan tsec^2 t

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