Questão 5: Considere as retas e de respectivas equações
(a) Verifique se as retas e são paralelas, concorrentes ou reversas.
(b) Determine a equação da reta perpendicular e concorrente com as retas e .
(c) Calcule o ângulo e a distância entre as retas e .
Passo 1
O enunciado dá duas retas em :
O objetivo é (a) classificar e como paralelas, concorrentes ou reversas; (b) achar a reta que seja perpendicular a ambas e as intersecte; (c) calcular o ângulo entre e e a distância entre elas. Vamos usar parametrizações, produto escalar, produto vetorial e fórmulas de geometria no espaço.
Passo 2
Parametrizamos
Logo um ponto em (quando ) e seu vetor diretor é
Para seja o parâmetro comum:
Um ponto em (quando ) e seu vetor diretor é
Passo 3
Para ver se são paralelas comparamos v e w. Não existe lambda tal que (2,1,1)=lambda(1,1,1), então não são paralelas. Para ver se se cruzam, resolvemos
(2+2t,;t,;t-1)=(u,;u-1,;u+2)
Das duas primeiras coordenadas vem t=-1, u=0, mas a terceira dá -2neq2. Logo não se intersectam. Concluímos que r e s são retas reversas (skew).
Passo 4
A reta
impondo
gera o sistema
Simplificando obtém-se
cuja solução é . Assim
e .
Passo 5
A reta t passa por A=(-4,-3,-4) e tem vetor diretor paralelo a AB=(0,-2,2). Em forma paramétrica:
t:;(x,y,z)=(-4,-3,-4)+lambda,(0,-2,2)
Ou seja,
x=-4, y=-3-2lambda, z=-4+2lambda
Passo 6
O ângulo theta entre r e s é o ângulo entre v e w: