Questão 5: Considere as retas r e s de respectivas equações
r: x-22=y=z+1 s: x=y+1=z-2
(a) Verifique se as retas r e s são paralelas, concorrentes ou reversas.
(b) Determine a equação da reta t perpendicular e concorrente com as retas r e s.
(c) Calcule o ângulo e a distância entre as retas r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r: x-22=y=z+1, s: x=y+1=z-2
O objetivo é (a) classificar r e s como paralelas, concorrentes ou reversas; (b) achar a reta t que seja perpendicular a ambas e as intersecte; (c) calcular o ângulo entre r e s e a distância entre elas. Vamos usar parametrizações, produto escalar, produto vetorial e fórmulas de geometria no espaço.

Passo 2

Parametrizamos
Logo um ponto em (quando ) e seu vetor diretor é
Para seja o parâmetro comum:
Um ponto em (quando ) e seu vetor diretor é

Passo 3

Para ver se são paralelas comparamos v e w. Não existe lambda tal que
(2,1,1)=lambda(1,1,1), então não são paralelas. Para ver se se cruzam, resolvemos
(2+2t,;t,;t-1)=(u,;u-1,;u+2)
Das duas primeiras coordenadas vem t=-1, u=0, mas a terceira dá -2neq2. Logo não se intersectam. Concluímos que r e s são retas reversas (skew).

Passo 4

A reta
impondo
gera o sistema
Simplificando obtém-se
cuja solução é . Assim
e
.

Passo 5

A reta t passa por A=(-4,-3,-4) e tem vetor diretor paralelo a AB=(0,-2,2). Em forma paramétrica:
t:;(x,y,z)=(-4,-3,-4)+lambda,(0,-2,2)
Ou seja,
x=-4, y=-3-2lambda, z=-4+2lambda

Passo 6

O ângulo theta entre r e s é o ângulo entre v e w:
costheta =vcdot w|v|;|w| =2cdot1+1cdot1+1cdot1raiz6,raiz3 =4raiz18 =2raiz23,
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theta=arccos!l(tfrac2raiz23r)
A distância d entre retas reversas é
d =l|ABcdot(vtimes w)r||vtimes w|
Calculando
vtimes w=(2,1,1)times(1,1,1)=(0,-1,1), |,(0,-1,1)|=raiz2,
e
ABcdot(vtimes w) =(0,-2,2)cdot(0,-1,1)=4,
segue
d=4raiz2=2raiz2

Resposta

(a) r e s são retas reversas (skew).
(b) Uma equação para t é
(x,y,z)=(-4,-3,-4)+lambda,(0,-2,2)
(c) theta=arccos!l(tfrac2raiz23r) e d=2raiz2.

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