Determine se Pi: R^2 R dada por Pi(x, y)=x é uma transformação linear. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Picolon R^2to R dada por
Pi(x,y)=x
Queremos verificar se Pi é linear, ou seja, se satisfaz as duas propriedades seguintes para todo u,vinR^2 e todo escalar alphainR:
  1. Pi(u+v)=Pi(u)+Pi(v),
  2. Pi(alpha,u)=alpha,Pi(u).

Passo 2

Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2) vetores em R^2. Então
u+v = (x1+x2,,y1+y2),
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Pi(u+v) =Pil(x1+x2,,y1+y2r) =x1+x2
Por outro lado,
Pi(u)+Pi(v) =x1+x2
Assim concluímos que
Pi(u+v)=Pi(u)+Pi(v)

Passo 3

Para homogeneidade, tome um escalar alphainR e um vetor u=(x,y). Então
alpha,u=(alpha x,;alpha y),
e
Pi(alpha,u) =Pi(alpha x,;alpha y) =alpha x =alpha,Pi(x,y)
Assim
Pi(alpha,u)=alpha,Pi(u)

Passo 4

Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram verificadas, concluímos que Pi é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação Pi(x,y)=x é linear, pois satisfaz
Pi(u+v)=Pi(u)+Pi(v) e Pi(alpha u)=alpha,Pi(u).

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