Determine se
dada por
é uma transformação linear. Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
dada por
Queremos verificar se
é linear, ou seja, se satisfaz as duas propriedades seguintes para todo
e todo escalar
:
-
, -
.
Passo 2
Sejam
e
vetores em
. Então
logo
Por outro lado,
Assim concluímos que
Passo 3
Para homogeneidade, tome um escalar
e um vetor
. Então
e
Assim
Passo 4
Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram verificadas, concluímos que
é uma transformação linear.
Resposta
A aplicação
é linear, pois satisfaz
e
.