Determine se as dadas séries geométricas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, determine sua soma.
sumk=0^infty 3(21+2 i)^k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série geométrica complexa\n\n
converge ou diverge, e em caso de convergência calcular sua soma usando conhecimentos de séries geométricas (teste de convergência pelo módulo da razão e fórmula da soma).

Passo 2

Identificamos o primeiro termo a=3 e a razão r=21+2i. Para verificar convergência, calculamos
|r|=l|21+2ir|=2|1+2i|=2raiz1^2+2^2=2raiz5,<1
Como |r|<1, a série converge.

Passo 3

Usamos a fórmula da soma da série geométrica convergente:
sumk=0^infty a,r^k=a1-r
Substituindo a=3 e r=21+2i:
1-r=1-21+2i=(1+2i)-21+2i=-1+2i1+2i,
sum=31-r=3cdot1+2i-1+2i
Para racionalizar, multiplicamos numerador e denominador por -1-2i):
1+2i-1+2icdot-1-2i-1-2i=(1+2i)(-1-2i)(-1)^2-(2i)^2=3-4i5
Logo
sum=3cdot3-4i5=9-12i5

Resposta

A série é convergente e sua soma é 9-12i5.

Exercícios relacionados