Determine se as dadas séries geométricas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, determine sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série geométrica complexa\n\n
converge ou diverge, e em caso de convergência calcular sua soma usando conhecimentos de séries geométricas (teste de convergência pelo módulo da razão e fórmula da soma).
Passo 2
Identificamos o primeiro termo e a razão . Para verificar convergência, calculamos
Como |r|<1, a série converge.
Passo 3
Usamos a fórmula da soma da série geométrica convergente:
sumk=0^infty a,r^k=a1-r
Substituindo a=3 e r=21+2i:
1-r=1-21+2i=(1+2i)-21+2i=-1+2i1+2i,
sum=31-r=3cdot1+2i-1+2i
Para racionalizar, multiplicamos numerador e denominador por -1-2i):