Determine o círculo e o raio de convergência das séries de potências dadas.
Passo 1
O exercício pede para achar o círculo (centro e raio) de convergência da série de potências
O conteúdo envolvido é séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão (ou de raiz) para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro identificamos que a série está centrada em
e que os coeficientes são
Passo 3
Aplicamos o teste da razão comparando
com
. Calculamos
Passo 4
Do critério da razão sabemos que a série converge se
$$|z-2i|;\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| < 1,
Passo 5
Basta então calcular
Logo o raio de convergência é
R=raiz5 e o disco de convergência é dado por
|z-2i|
Resposta
O círculo de convergência é centrado em
2i com raio
R=raiz5 , ou seja, a série converge para |z-2i|<√5.