Determine o círculo e o raio de convergência das séries de potências dadas.
sumk=0^infty 1(1-2 i)^k+1(z-2 i)^k

Passo 1

O exercício pede para achar o círculo (centro e raio) de convergência da série de potências
sumk=0^infty 1(1-2i)^k+1,(z-2i)^k
O conteúdo envolvido é séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão (ou de raiz) para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro identificamos que a série está centrada em z0=2i e que os coeficientes são
ak = 1(1-2i)^k+1

Passo 3

Aplicamos o teste da razão comparando ak+1 com ak. Calculamos
|ak+1ak| = |1/(1-2i)^k+21/(1-2i)^k+1| = 1|1-2i|

Passo 4

Do critério da razão sabemos que a série converge se
$$|z-2i|;\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| < 1,
|z-2i|;limktoinfty|ak+1ak| < 1, |z-2i|\cdot\frac{1}{|1-2i|}<1 \quad\Longrightarrow\quad |z-2i|<|1-2i|.$$

Passo 5

Basta então calcular
|1-2i| = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz5
Logo o raio de convergência é R=raiz5 e o disco de convergência é dado por
|z-2i|

Resposta

O círculo de convergência é centrado em 2i com raio R=raiz5, ou seja, a série converge para |z-2i|<√5.

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