Determine se os dados a seguir se ajustam a uma isoterma de Langmuir não-dissociativa, dissociativa ou a uma isoterma de Freundlich.
Concentração / M
0,018
0,031
0,062
0,126
0,268
0,471
0,882
2,790
Massa adsorvida / g
0,467
0,624
0,801
1,110
1,550
2,040
2,480
3,760
| Concentração / M | 0,018 | 0,031 | 0,062 | 0,126 | 0,268 | 0,471 | 0,882 | 2,790 |
| Massa adsorvida / g | 0,467 | 0,624 | 0,801 | 1,110 | 1,550 | 2,040 | 2,480 | 3,760 |
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se os dados empíricos se ajustam a uma das três isotermas: Langmuir não-dissociativa, Langmuir dissociativa ou Freundlich. Os dados fornecidos são:
A concentração
(em
) e a massa adsorvida
(em
):
Pergunta explícita: qual das três isotermas (Langmuir não-dissociativa, Langmuir dissociativa ou Freundlich) melhor descreve esses dados?
Passo 2
Vou explicar as fórmulas e as transformações lineares usadas para testar cada modelo — passo a passo, como você pediu, sem pular etapas.
- Isoterma de Langmuir não-dissociativa:
A forma não-linear é
onde
-
é a massa adsorvida por unidade (aqui em g, conforme dados), -
é a concentração em equilíbrio, -
é a capacidade máxima de adsorção (saturação), -
é a constante de afinidade.
A forma linear mais usada é obtida dividindo por
e invertendo; uma versão prática é
Se os pares
se ajustarem linearmente, os parâmetros são
e
.
- Isoterma de Langmuir dissociativa:
Quando a espécie adsorve dissociando (por exemplo, ligando-se a dois sítios), a concentração efetiva entra como raiz quadrada. A forma usada é
A forma linear correspondente é
Aqui usamos os pares
. Novamente
e
.
- Isoterma de Freundlich (empírica):
A forma é
que lineariza tomando logaritmo (aqui uso log10 por conveniência):
Se os pares
forem lineares, então
e
.
Método de ajuste:
- Para cada modelo faço a transformação adequada e ajusto uma reta pelo método dos mínimos quadrados (regressão linear simples).
- Fórmulas usadas para a regressão (dados
, ):
- Coeficiente de correlação linear
(para comparar ajustes):
E
mede a fração da variância explicada pelo ajuste (quanto mais próximo de
, melhor o ajuste linear).
Passo 3
Preparação das transformações e cálculos auxiliares (vou mostrar as transformações e depois os somatórios que uso nas fórmulas).
Transformações que vou usar:
- Langmuir não-dissociativa:
, . - Langmuir dissociativa:
, . - Freundlich:
, (log10).
Vou calcular para cada modelo os somatórios
,
,
,
e
e então
e
.
Passo 4
Ajuste para Langmuir não-dissociativa (
) — cálculo explícito.
Primeiro calculei cada
:
Somatórios (aproximações com casas suficientes para a regressão):
Aplicando as fórmulas da regressão:
Interpretação dos parâmetros:
Cálculo do coeficiente de correlação:
Resumo: ajuste razoável,
.
Passo 5
Ajuste para Freundlich (
) — cálculo explícito.
Valores usados (log10):
Somatórios:
Regressão dá:
Interpretação:
Coeficiente de correlação:
Resumo: excelente ajuste,
.
Passo 6
Ajuste para Langmuir dissociativa (
) — cálculo explícito.
Primeiro calculei
e
:
Somatórios:
(Observe que
e
.)
Aplicando a regressão:
Interpretação:
Coeficiente de correlação:
Usando os somatórios acima o cálculo numérico dá um coeficiente muito próximo de , isto é
Usando os somatórios acima o cálculo numérico dá um coeficiente muito próximo de
Resumo: ajuste excelente, melhor do que os anteriores (R^2 mais próximo de
).
Passo 7
Comparação final dos ajustes (valores aproximados de
):
Interpretação prática: todos os três modelos apresentam bons ajustes, mas o modelo de Langmuir dissociativa mostra o melhor ajuste linear (maior
), seguido de Freundlich e, por último, Langmuir não-dissociativa. Assim, os dados se comportam de forma consistente com uma isoterma de Langmuir dissociativa. (Eu também calculei os parâmetros: para Langmuir dissociativa
e
, para referência.)
Resposta
Isoterma de Langmuir dissociativa.