Mediu-se a pressão de uma gás adsorvido em função da temperatura e o resultado está mostrado na Tabela abaixo:
\mathbf{T} / \mathbf{K} 200 210 220 230 240 250
\mathbf{p} / \mathbf{k P a} 4,32 5,59 7,07 8,80 10,67 12,80
Calcule o valor da Entalpia de Adsorção ( \Delta_{\text {ads }} \mathrm{H}^{\circ} ).

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com pares de temperatura e pressão de equilíbrio do gás adsorvido e pede o valor da entalpia de adsorção \Delta_{\text{ads}} H^{\circ}.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} T\;(\mathrm{K}) & p\;(\mathrm{kPa})\\hline 200 & 4,32\\\\ 210 & 5,59\\\\ 220 & 7,07\\\\ 230 & 8,80\\\\ 240 & 10,67\\\\ 250 & 12,80 \end{array}
O que exatamente é pedido: calcular \Delta_{\text{ads}} H^{\circ} (entropia não é pedida) a partir desses dados.

Passo 2

Qual equação vamos usar (explicação didática): para um equilíbrio entre fase gasosa e fase adsorvida, a dependência da pressão de equilíbrio com a temperatura pode ser linearizada de forma análoga à equação de Clausius–Clapeyron / van’t Hoff. Uma forma útil é
\ln p = -\frac{\Delta H_{\text{des}}}{R}\cdot\frac{1}{T} + \text{constante},
onde \Delta H_{\text{des}} é a entalpia de dessorção (energia necessária para passar da fase adsorvida para o gás), R é a constante dos gases perfeitos e T é a temperatura em kelvin. Note que a entalpia de adsorção e a de dessorção têm sinais opostos:
\Delta_{\text{ads}} H^{\circ} = -\,\Delta H_{\text{des}}.
Assim, se encontrarmos o coeficiente angular m da reta que ajusta \ln p versus 1/T, temos
m=\frac{d(\ln p)}{d(1/T)}=-\frac{\Delta H_{\text{des}}}{R}, \quad\text{ou}\quad \Delta H_{\text{des}}=-mR,
e finalmente
\Delta_{\text{ads}} H^{\circ} = -\Delta H_{\text{des}} = mR.
Aqui vou usar a forma prática para ajuste linear (mínimos quadrados) para obter o melhor m usando todos os pontos (mais robusto que usar só dois pontos).
Constante R que usarei: R=8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 3

Calcular x=\dfrac{1}{T} e y=\ln p para cada ponto (mostro os cálculos aproximados; os valores de p peguei da tabela):
\begin{array}{c|c|c} T\;(\mathrm{K}) & x=\dfrac{1}{T}\;(\mathrm{K^{-1}}) & y=\ln p\\hline 200 & 0,00500000 & 1,4623\\\\ 210 & 0,00476190 & 1,7199\\\\ 220 & 0,00454545 & 1,9569\\\\ 230 & 0,00434783 & 2,1741\\\\ 240 & 0,00416667 & 2,3672\\\\ 250 & 0,00400000 & 2,5482 \end{array}
Breve comentário: calculei \ln p usando logaritmo natural dos valores de pressão em kPa (a unidade não importa para a inclinação, pois entra apenas como um fator aditivo na constante).

Passo 4

Montar as somas necessárias para regressão linear (mínimos quadrados). Primeiro as médias:
\bar{x}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 x_i=0,00447031,\qquad \bar{y}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 y_i=2,0381.
Agora calculemos
S_{xy}=\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}),\qquad S_{xx}=\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2.
Com os valores da tabela obtemos (mostro os resultados numéricos arredondados):
S_{xy}\approx -0,00076008,\qquad S_{xx}\approx 6{,}9965\times 10^{-7}.

Passo 5

Cálculo do coeficiente angular m da reta \ln p versus 1/T:
m=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\approx\frac{-0,00076008}{6{,}9965\times 10^{-7}}\approx -1086{,}6.
Unidades de m: adimensional por \mathrm{K} (já que y=\ln p e x=1/T).

Passo 6

Determinar \Delta H_{\text{des}} e então \Delta_{\text{ads}} H^{\circ}. Lembrando \Delta H_{\text{des}}=-mR e \Delta_{\text{ads}} H^{\circ}=-\Delta H_{\text{des}}=mR. Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}:
\Delta H_{\text{des}} = -mR \approx -(-1086{,}6)\times 8{,}314 \approx 9035\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{kJ\;mol^{-1}}:
\Delta H_{\text{des}}\approx 9,04\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Como \Delta_{\text{ads}} H^{\circ} = -\Delta H_{\text{des}}, obtemos
\Delta_{\text{ads}} H^{\circ}\approx -9,04\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Interpretação rápida: sinal negativo indica que a adsorção é exotérmica (libera calor), e o valor absoluto é cerca de 9{,}0\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.

Resposta

-9,04\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}

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