(Livro José Schifino - página 155) Um recipiente com volume de 50 litros contém He na temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}. Uma certa quantidade de adsorvente é adicionada ao recipiente e, após ser atingido o equilíbrio, o adsorvente é retirado e analisado, resultando em 50 g de adsorvente e 10 g de \mathrm{He}\left(\mathrm{MM}=4,0 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}\right). Calcular a pressão inicial no recipiente, desprezando o volume ocupado pelo adsorvente, considerando o hélio um gás ideal e sabendo que o sistema segue uma isoterma de Freundlich do tipo:
\frac{x_{(g)}}{M_{(g)}}=0,5 x\left(p_{(a t m)}\right)^{(1 / 3)}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Volume do recipiente: V=50\\ \text{L}.
  • Temperatura: 25^\circ\text{C}.
  • Após o equilíbrio, a amostra de adsorvente analisada tem massa M_{(g)}=50\\ \text{g} e contém x_{(g)}=10\\ \text{g} de hélio adsorvido.
  • Massa molar do hélio: MM=4{,}0\\ \text{g}\,\text{mol}^{-1}.
  • Isoterma de Freundlich dada:
\frac{x_{(g)}}{M_{(g)}}=0,5\;p_{(atm)}^{1/3}.
  • Desprezar o volume ocupado pelo adsorvente e tratar o hélio como gás ideal.
O que é pedido: calcular a pressão inicial no recipiente (antes de adicionar o adsorvente), ou seja, a pressão que o hélio tinha se todo ele estivesse no estado gasoso no volume V informado.

Passo 2

Usar a isoterma de Freundlich para obter a pressão de equilíbrio (a pressão parcial do He no gás após o contato com o adsorvente).
Explicação rápida da fórmula: a isoterma escrita dá a razão massa de gás adsorvido por massa de adsorvente \left(\dfrac{x_{(g)}}{M_{(g)}}\right) como uma constante 0,5 vezes a pressão do gás elevada a 1/3. Aqui \dfrac{x_{(g)}}{M_{(g)}} é um número adimensional (g/g) e p_{(atm)} está em atmosferas.
Substituindo os valores conhecidos:
\frac{x_{(g)}}{M_{(g)}}=\frac{10}{50}=0{,}2.
Logo,
0{,}2=0{,}5\;p^{1/3}.
Isolando p^{1/3}:
p^{1/3}=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4.
Elevando ao cubo para encontrar p:
p=(0{,}4)^3=0{,}064\\ \text{atm}.
Esse é a pressão do He no gás depois do equilíbrio (pressão de equilíbrio).

Passo 3

Agora usamos a lei dos gases ideais para calcular quantos mols de He permanecem na fase gasosa após o equilíbrio.
Lei dos gases ideais (explicação): a equação é
pV=nRT,
onde p é a pressão (em atm), V é o volume (em L), n é o número de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura em kelvin. Aqui usaremos R=0{,}082057\\ \text{L}\,\text{atm}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
Converter temperatura:
T=25^\circ\text{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \text{K}.
Calcular n_{gas} (mols de He no gás após o equilíbrio):
n_{gas}=\frac{pV}{RT}=\frac{0{,}064\cdot 50}{0{,}082057\cdot 298{,}15}.
Calculemos passo a passo:
\text{numerador}=0{,}064\cdot 50=3{,}2,
RT=0{,}082057\cdot 298{,}15\approx24{,}465.
Portanto
n_{gas}\approx\frac{3{,}2}{24{,}465}\approx0{,}131\\ \text{mol}.

Passo 4

Converter a massa de He adsorvida em mols (explicação): massa do He adsorvido =10\\ \text{g}. Como MM=4{,}0\\ \text{g}\,\text{mol}^{-1},
n_{ads}=\frac{10}{4{,}0}=2{,}5\\ \text{mol}.
O número total de mols de He que havia inicialmente no recipiente (antes do contato com o adsorvente) é a soma dos mols que permaneceram no gás mais os mols adsorvidos:
n_{inicial}=n_{gas}+n_{ads}=0{,}131+2{,}5=2{,}631\\ \text{mol}.

Passo 5

Calcular a pressão inicial usando a lei dos gases ideais novamente (agora com n_{inicial}).
p_{inicial}=\frac{n_{inicial}RT}{V}.
Substituindo:
p_{inicial}=\frac{2{,}631\cdot 0{,}082057\cdot 298{,}15}{50}.
Já sabemos RT\approx24{,}465, então
p_{inicial}\approx\frac{2{,}631\cdot 24{,}465}{50}\approx\frac{64{,}36}{50}\approx1{,}29\\ \text{atm}.
Interpretação: antes de colocar o adsorvente todo o hélio no volume 50\\ \text{L} estava a cerca de 1{,}29\\ \text{atm}. Após adicionar o adsorvente, parte do He (10 g) foi adsorvida e a pressão caiu para 0{,}064\\ \text{atm}.

Resposta

\;1{,}29\\ \text{atm}

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