Determine Dc e theta Rc da série
sum1 raizn+3 cdot(x-7)^n(n+5)^2

Passo 1

O enunciado diz para encontrar o disco de convergência e o raio de convergência da série de potências centrada em 7. O conteúdo aqui é análise de convergência de séries de potências e vamos usar o teste da raiz (limsup da n-ésima raiz do módulo dos coeficientes).

Passo 2

Escrevemos a série na forma \sum_{n=1}^\infty a_n(x-7)^n com $ an = raizn+3(n+5)^2

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz: $$
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}
= \lim_{n\to\infty} \Bigl(\frac{\sqrt{n+3}}{(n+5)2}\Bigr){1/n}
= \lim_{n\to\infty} (n+3)^{1/(2n)} \cdot (n+5)^{-2/n}.$$

Passo 4

Calculamos separadamente: $$
(n+3)^{1/(2n)} = e^{\frac{\ln(n+3)}{2n}} \to e^0 = 1,
\
(n+5)^{2/n} = e^{\frac{2\ln(n+5)}{n}} \to e^0 = 1.
$$

Passo 5

Logo $ limsupntoinfty |an|^1/n = 1 e o raio de convergência é $ R = 11 = 1

Passo 6

O disco de convergência é então \{x \in \mathbb{R}: |x-7|<1\}.

Resposta

D_c = {x:|x-7|<1}, ;\theta R_c = 1

Exercícios relacionados