Determine
e
da série
Passo 1
O enunciado diz para encontrar o disco de convergência e o raio de convergência da série de potências centrada em 7. O conteúdo aqui é análise de convergência de séries de potências e vamos usar o teste da raiz (limsup da n-ésima raiz do módulo dos coeficientes).
Passo 2
Escrevemos a série na forma \sum_{n=1}^\infty a_n(x-7)^n com $
Passo 3
Aplicamos o teste da raiz: $$
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}
= \lim_{n\to\infty} \Bigl(\frac{\sqrt{n+3}}{(n+5)2}\Bigr){1/n}
= \lim_{n\to\infty} (n+3)^{1/(2n)} \cdot (n+5)^{-2/n}.$$
\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}
= \lim_{n\to\infty} \Bigl(\frac{\sqrt{n+3}}{(n+5)2}\Bigr){1/n}
= \lim_{n\to\infty} (n+3)^{1/(2n)} \cdot (n+5)^{-2/n}.$$
Passo 4
Calculamos separadamente: $$
(n+3)^{1/(2n)} = e^{\frac{\ln(n+3)}{2n}} \to e^0 = 1,
\
(n+5)^{2/n} = e^{\frac{2\ln(n+5)}{n}} \to e^0 = 1.
$$
(n+3)^{1/(2n)} = e^{\frac{\ln(n+3)}{2n}} \to e^0 = 1,
\
(n+5)^{2/n} = e^{\frac{2\ln(n+5)}{n}} \to e^0 = 1.
$$
Passo 5
Logo $
e o raio de convergência é $
Passo 6
O disco de convergência é então \{x \in \mathbb{R}: |x-7|<1\}.
Resposta
D_c = {x:|x-7|<1}, ;\theta R_c = 1