(ESPCEX)O termo independente de
no desenvolvimento
é:
a) 153
b) 261
c) 149
d) 457
e) 361
a) 153
b) 261
c) 149
d) 457
e) 361
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o termo que não tem nenhuma variável $ x $ no desenvolvimento de
. Então, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões dessa forma. Para isso, precisamos entender como combinar os termos para que as potências de $ x $ se cancelem, resultando em um termo independente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar os cálculos. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema do Binômio de Newton, que diz que:
No nosso caso,
,
e
. Então, cada termo da expansão será:
Passo 4
Vamos simplificar esse termo:
Isso dá:
Simplificando os expoentes de $ x $:
Passo 5
Queremos o termo independente, ou seja, aquele em que a potência de $ x $ é zero:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ k $:
Passo 6
Agora que sabemos que $ k = 16 $, vamos substituir na fórmula do termo geral para encontrar o coeficiente:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Resposta
O termo independente é 153. A opção correta é a) 153.