(ESPCEX)O termo independente de x no desenvolvimento (1x^2-raiz[4]x)^18 é:
a) 153
b) 261
c) 149
d) 457
e) 361

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o termo que não tem nenhuma variável $ x $ no desenvolvimento de x . Então, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir expressões dessa forma. Para isso, precisamos entender como combinar os termos para que as potências de $ x $ se cancelem, resultando em um termo independente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar os cálculos. Sabemos que raiz[4]x é o mesmo que x^14. Então, a expressão fica:
(1x^2 - x^14)^18

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema do Binômio de Newton, que diz que:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n - k b^k
No nosso caso, a = 1x^2, b = -x^14 e n = 18. Então, cada termo da expansão será:
binom18k (1x^2)^18 - k (-x^14)^k

Passo 4

Vamos simplificar esse termo:
binom18k cdot 1x^2(18 - k) cdot (-1)^k x^14k
Isso dá:
binom18k cdot (-1)^k cdot x^-36 + 2k + 14k
Simplificando os expoentes de $ x $:
x

Passo 5

Queremos o termo independente, ou seja, aquele em que a potência de $ x $ é zero:
x
Vamos resolver essa equação para encontrar $ k $:
-36 + 94k = 0
k
94k = 36

Passo 6

Agora que sabemos que $ k = 16 $, vamos substituir na fórmula do termo geral para encontrar o coeficiente:
k = 16
Simplificando:
binom1816 cdot (-1)^16 cdot x^0
Sabemos que binom1816 cdot 1 = binom182 , então:
binomnk = binomnn - k

Resposta

O termo independente é 153. A opção correta é a) 153.

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