Determine a solução da equação diferencial. (2P) y^prime=y cos (x)(1+2 y^2)^-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem y' = ycos(x)1+2y^2. O conteúdo envolvido é separação de variáveis: identificar que podemos escrever y' = f(x)g(y) e então separar as partes que dependem de y e de x.

Passo 2

Para separar variáveis, escrevemos y' = dydx e fazemos as operações algébricas:
dydx = ycos(x)1+2y^2
1+2y^2y,dy = cos(x),dx
Note que 1+2y^2y = 1y + 2y. Agora integramos ambos os lados:
integrall(1y + 2yr)dy = integralcos(x),dx

Passo 3

Usando as antiderivadas conhecidas: integral1y,dy = ln|y|, integral2y,dy = y^2 e integralcos(x),dx = sin(x), obtemos:
ln|y| + y^2 = sin(x) + C
Essa é a solução implícita geral da equação diferencial.

Resposta

ln|y| + y^2 = sin(x) + C

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