Determine o declive, se existir, da reta tangente à curva x^2+2 x y+y^2+x+2 y=1 no ponto de abcissa x=-1 e ordenada positiva.

Passo 1

O enunciado pede o declive da reta tangente à curva implícita
x^2+2xy+y^2+x+2y=1
no ponto cuja abcissa é x=-1 e que tenha ordenada positiva.
Para resolver vamos precisar de dois ingredientes:
1. Encontrar a(s) coordenada(s) y correspondente(s) a x=-1.
2. Aplicar diferenciação implícita para obter dfracdydx e, em seguida, avaliar em (x,y)=(-1,y+).

Passo 2

Substituímos x=-1 na equação da curva para achar y:
(-1)^2+2(-1)y+y^2+(-1)+2y=1
Isto é,
1-2y+y^2-1+2y=1 Longrightarrow y^2=1 Longrightarrow y=pm1
Como queremos a ordenada positiva, fica y=1. O ponto em questão é (-1,1).

Passo 3

Para diferenciar implicitamente a equação
x^2+2xy+y^2+x+2y=1
tomamos derivada em relação a x:
- dfracddx(x^2)=2x
- dfracddx(2xy)=2l(x,tfracdydx+ycdot1r)=2x,y'+2y
- dfracddx(y^2)=2y,y'
- dfracddx(x)=1
- dfracddx(2y)=2y'.
Somando e igualando a zero:
2x + (2x,y'+2y) + 2y,y' +1 +2y' =0
Agrupando os termos em y':
y',(2x+2y+2) + (2x+2y+1)=0 Longrightarrow y'=-2x+2y+12x+2y+2

Passo 4

Agora substituímos (x,y)=(-1,1):
y'(-1,1) =-2(-1)+2cdot1+12(-1)+2cdot1+2 =--2+2+1-2+2+2 =-12

Resposta

O declive da reta tangente é -tfrac12.

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