( 1,0 ponto) Considere o operador linear
definido por
.
(a)
Calcule os autovalores e os autovetores de
;
(b)
Exiba uma base para cada um dos autoespaços de
;
(c)
Calcule explicitamente
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define o operador linear
dado por
Pede em (a) os autovalores e autovetores de
, em (b) uma base para cada autoespaço e em (c) o cálculo explícito de
. Vamos usar polinômio característico, resolução de sistemas para autovetores, diagonalização e fórmula de potências.
Passo 2
Na base canônica
tem matriz
O polinômio característico é
,
cuja solução é
.
cuja solução é
Passo 3
Para
resolvemos
da segunda linha vem
, então
. Um autovetor é
.
Para resolvemos
Para
da segunda linha vem
, logo
. Um autovetor é
.
Passo 4
Os autoespaços são:
– Para , gerado por
, logo base
.
– Para , gerado por
, logo base
.
– Para
– Para
Passo 5
Como
é diagonalizável, tomamos
tal que
Aplicando a um vetor
vem, para
,
onde se obtém, após multiplicar,
Passo 6
Para
usamos
,
,
,
. Assim
Simplificando os coeficientes:
Resposta
(a) Autovalores
,
; autovetores correspondentes múltiplos de
e de
.
(b) Base do autoespaço de :
. Base do autoespaço de
:
.
(c) Para todo ,
(b) Base do autoespaço de
(c) Para todo