( 1,0 ponto) Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y)= (5 x-6 y, x).
(a) (0,4) Calcule os autovalores e os autovetores de T;
(b) (0,3) Exiba uma base para cada um dos autoespaços de T;
(c) (0,3) Calcule explicitamente T^8(x, y).

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon R^2toR^2 dado por
T(x,y)=(5x-6y,;x)
Pede em (a) os autovalores e autovetores de T, em (b) uma base para cada autoespaço e em (c) o cálculo explícito de T^8(x,y). Vamos usar polinômio característico, resolução de sistemas para autovetores, diagonalização e fórmula de potências.

Passo 2

Na base canônica T tem matriz
A=5&-61&0
O polinômio característico é
det(A-lambda I)=lambda^2-5lambda+6,
cuja solução é
lambda^2-5lambda+6=0implies lambda=2,3.

Passo 3

Para resolvemos
da segunda linha vem , então . Um autovetor é .
Para resolvemos
da segunda linha vem , logo . Um autovetor é .

Passo 4

Os autoespaços são:
– Para lambda=2, gerado por (2,1), logo base (2,1).
– Para lambda=3, gerado por (3,1), logo base (3,1).

Passo 5

Como é diagonalizável, tomamos
tal que
Aplicando a um vetor vem, para ,
onde se obtém, após multiplicar,

Passo 6

Para n=8 usamos 2^8=256, 3^8=6561, 2^7=128, 3^7=2187. Assim
T^8(x,y) =(x8,y8) =l((-2x+6y),256+(3x-6y),6561,;(-2x+6y),128+(3x-6y),2187r)
Simplificando os coeficientes:
x8=19171,x-37830,y, y8=6305,x-12354,y

Resposta

(a) Autovalores lambda1=2, lambda2=3; autovetores correspondentes múltiplos de (2,1) e de (3,1).
(b) Base do autoespaço de lambda=2: (2,1). Base do autoespaço de lambda=3: (3,1).
(c) Para todo (x,y),
T^8(x,y)=(19171,x-37830,y,;6305,x-12354,y)

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