( 1,0 ponto) Responda Verdadeiro (V) ou Falso (F) nos itens abaixo, justificando sua resposta:
(a) (0,25) Sejam T, S: V V operadores lineares. Se T S=S T, então Ker(S) e Im(S) são subespaços invariantes por T.
(b) (0,25) Sejam V um C-espaço vetorial de dimensão finita e
V^*=f: V C / f é uma transformação linear éçã
o espaço vetorial dual de V. Então V é isomorfo a V^*.
(c) (0,25) Existe uma transformação linear T: R^4 R^3 que é injetora.
(d) (0,25) Seja V=P^2(R) o espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2. Então um subconjunto de V com 4 vetores pode ser linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre operadores lineares e espaços vetoriais é verdadeira ou falsa, justificando com propriedades de:
  1. Invariância de subespaços quando operadores comutam.
  2. Dimensão de espaços vetoriais e de seus espaços duais.
  3. Teorema da dimensão (posto-nulidade) para transformações lineares.
  4. Relação entre dimensão de um espaço e o tamanho máximo de uma base.

Passo 2

Analisando (a): Sejam T,S:Vto V lineares e TS=ST.
Para mostrar que ker(S) é invariável por T, tomamos vinker(S), isto é, S(v)=0. Então
Sl(T(v)r)=Tl(S(v)r)=T(0)=0,
logo T(v)inker(S).
Para Im(S), dado winIm(S), existe v tal que w=S(v). Então
T(w)=Tl(S(v)r)=Sl(T(v)r)inIm(S)
Portanto ambas são invariantes por T. Conclusão: (a) é Verdadeira.

Passo 3

Analisando (b): Em espaço vetorial de dimensão finita sobre C, vale
dim(V^*)=dim(V)
Dois espaços vetoriais finito-dimensionais sobre o mesmo corpo e de mesma dimensão são isomorfos (embora não canonicamente). Logo (b) é Verdadeira.

Passo 4

Analisando (c): Para linear, o Teorema do Núcleo e da Imagem dá
Segue , ou seja, , então não pode ser injetora. Conclusão: (c) é Falsa.

Passo 5

Analisando (d): O espaço P^2(R) tem dimensão
diml(P^2(R)r)=3
Qualquer conjunto de vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 tem no máximo 3 vetores. Logo não existe conjunto com 4 vetores linearmente independentes em V. Conclusão: (d) é Falsa.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) F
(d) F

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