( 1,0 ponto) Responda Verdadeiro (V) ou Falso (F) nos itens abaixo, justificando sua resposta:
(a) (0,25) Sejam
operadores lineares. Se
, então
e
são subespaços invariantes por
.
(b)
Sejam
um
-espaço vetorial de dimensão finita e
o espaço vetorial dual de
. Então
é isomorfo a
.
(c)
Existe uma transformação linear
que é injetora.
(d)
Seja
o espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2. Então um subconjunto de
com 4 vetores pode ser linearmente independente.
(a) (0,25) Sejam
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre operadores lineares e espaços vetoriais é verdadeira ou falsa, justificando com propriedades de:
- Invariância de subespaços quando operadores comutam.
- Dimensão de espaços vetoriais e de seus espaços duais.
- Teorema da dimensão (posto-nulidade) para transformações lineares.
- Relação entre dimensão de um espaço e o tamanho máximo de uma base.
Passo 2
Analisando (a): Sejam
lineares e
.
Para mostrar que é invariável por
, tomamos
, isto é,
. Então
Para mostrar que
logo
.
Para , dado
, existe
tal que
. Então
Para
Portanto ambas são invariantes por
. Conclusão: (a) é Verdadeira.
Passo 3
Analisando (b): Em espaço vetorial de dimensão finita sobre
, vale
Dois espaços vetoriais finito-dimensionais sobre o mesmo corpo e de mesma dimensão são isomorfos (embora não canonicamente). Logo (b) é Verdadeira.
Passo 4
Analisando (c): Para
linear, o Teorema do Núcleo e da Imagem dá
Segue
, ou seja,
, então
não pode ser injetora. Conclusão: (c) é Falsa.
Passo 5
Analisando (d): O espaço
tem dimensão
Qualquer conjunto de vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão
tem no máximo
vetores. Logo não existe conjunto com
vetores linearmente independentes em
. Conclusão: (d) é Falsa.
Resposta
(a) V
(b) V
(c) F
(d) F
(b) V
(c) F
(d) F