Determine o declive, se existir, da reta tangente à curva x^2+2 x y+y^2-x-2 y=1 no ponto de abcissa x=1 e ordenada positiva.

Passo 1

O enunciado pede o declive da reta tangente à curva definida implicitamente por
x^2+2xy+y^2-x-2y=1
no ponto cuja abcissa é x=1 e ordenada positiva. Vamos usar diferenciação implícita para encontrar dydx.

Passo 2

Para achar a ordenada y quando x=1, substituímos na equação original:
1^2+2cdot1cdot y+y^2-1-2y=1
que simplifica para
y^2=1
Como queremos a ordenada positiva, temos y=1.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados de
x^2+2xy+y^2-x-2y=1
em relação a x, obtemos
2x + (2y + 2x,y') + 2y,y' -1 -2y' = 0
Agrupando os termos em y' e isolando,
(2x+2y-2),y' + (2x+2y-1)=0 Longrightarrow y'=-2x+2y-12x+2y-2

Passo 4

Avaliamo’s y' no ponto (x,y)=(1,1):
y'=-2cdot 1 + 2cdot 1 - 12cdot 1 + 2cdot 1 - 2 = -32

Resposta

-tfrac32

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