Problema 03 Calcular a derivada.
f(x)=7 x^22(raiz[5]3 x+1)+raiz3 x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=7x^22,raiz[5]3x+1+raiz3x+1
O conteúdo envolvido é regra da soma, regra da potência e regra da cadeia, além da regra do produto para reescrever o primeiro termo como x^2,(3x+1)^-1/5.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em potências para facilitar:
f(x)=72,x^2,(3x+1)^-tfrac15+(3x+1)^tfrac12
Agora aplicamos derivada termo a termo.

Passo 3

Derivada de tfrac72,x^2,(3x+1)^-1/5:
  • Seja u(x)=tfrac72x^2 e v(x)=(3x+1)^-1/5.
  • u'(x)=7x.
  • Pela regra da cadeia, v'(x)=-tfrac15(3x+1)^-tfrac65cdot 3=-tfrac35(3x+1)^-tfrac65
  • Então, pela regra do produto, l(u,vr)'=u'v+u,v' =7x,(3x+1)^-tfrac15 -72x^2,35,(3x+1)^-tfrac65
Isso é
7x,(3x+1)^-tfrac15-2110,x^2,(3x+1)^-tfrac65

Passo 4

Derivada de (3x+1)^1/2 pela regra da cadeia:
ddx(3x+1)^tfrac12 =tfrac12(3x+1)^-tfrac12cdot 3 =32,(3x+1)^-tfrac12

Passo 5

Somando as duas partes, a derivada final é
f'(x) =7x,(3x+1)^-tfrac15 -2110,x^2,(3x+1)^-tfrac65 +32,(3x+1)^-tfrac12

Resposta

f'(x) =7x,(3x+1)^-tfrac15 -2110,x^2,(3x+1)^-tfrac65 +32,(3x+1)^-tfrac12

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