(2,0) Disserte sobre o tema Continuidade de funções reais de uma variável real. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
  • Definição e exemplos,
  • Propriedades das funções contínuas,
  • Teorema do Valor Intermediário e Aplicações,
  • Continuidade Uniforme,

Passo 1

O enunciado pede uma dissertação sobre continuidade de funções reais de variável real, cobrindo ( 1) definição e exemplos, ( 2) propriedades de funções contínuas, ( 3) Teorema do Valor Intermediário e aplicações e ( 4) continuidade uniforme. Vamos expor cada tópico de forma clara e progressiva.

Passo 2

Definição e exemplos
A definição clássica de continuidade num ponto usa o critério epsilon de<a: dizemos que fcolon DtoR é contínua em x0in D se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x - x0|<de<aimplies |f(x)-f(x0)|<varepsilon
Equivalentemente, f é contínua em x0 se limxto x0f(x)=f(x0). Há também a caracterização sequencial: toda sequência (xn)subset D que converge a x0 satisfaz f(xn)to f(x0).
Exemplos usuais de funções contínuas em todo R são polinômios, funções trigonométricas, exponencial e logarítmica (no domínio (0,infty)). Exemplo de descontinuidade: a função de Dirichlet definida por
f(x)= 1,&xinQ, 0,&xnotinQ,
é descontínua em todo ponto.

Passo 3

Propriedades das funções contínuas
1. Se f e g são contínuas em x0, então f+g, f-g, fcdot g e, se g(x0)neq0, f/g são contínuas em x0.
2. Se g é contínua em x0 e f é contínua em g(x0), então a composição fcirc g é contínua em x0.
3. Teorema de Weierstrass: se f é contínua num intervalo fechado e limitado [a,b], então f é limitada e atinge valores mínimos e máximos em [a,b].
4. A imagem de um conjunto conexo por uma função contínua também é conexa.

Passo 4

Teorema do Valor Intermediário e aplicações
O Teorema do Valor Intermediário (TVI) afirma que, se f é contínua em [a,b] e y0 está entre f(a) e f(b), então existe cin[a,b] tal que f(c)=y0. A ideia de prova baseia-se numa bisseção do intervalo e no fato de que a imagem de subintervalos permanece conectada.
Aplicações típicas:
1. Existência de raízes: se f(a)cdot f(b)<0, então existe cin(a,b) com f(c)=0.
2. Resolver equações f(x)=k quando k está entre valores extremos de f.
3. Garantir que trajetórias contínuas de sistemas ou curvas paramétricas atinjam certos níveis.

Passo 5

Continuidade uniforme
Uma função fcolon DtoR é uniformemente contínua em D se, para todo varepsilon>0, existe um único de<a>0 (válido para todo x0in D) tal que
|x - x0|<de<aimplies |f(x)-f(x0)|<varepsilon
para quaisquer x,x0in D. A diferença para continuidade pontual é que de<a não depende de x0.
Exemplo de não uniforme: f(x)=x^2 em R não é uniformemente contínua porque, quanto mais longe de zero, maior é a inclinação. Já em qualquer intervalo fechado e limitado, pelo Teorema de Heine–Cantor, toda função contínua é uniformemente contínua.

Resposta

Discutimos a continuidade em nível pontual ( varepsilon de<a e sequencial) com exemplos clássicos, apresentamos as principais propriedades (operações, composição, imagem de intervalos e máximos e mínimos em [a,b]), expusemos o Teorema do Valor Intermediário e suas aplicações à existência de raízes e soluções de equações e, por fim, definimos continuidade uniforme, ilustrando a diferença para a continuidade simples e citando o Teorema de Heine–Cantor para garantir uniformidade em domínios compactos.

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