(2,0) Disserte sobre o tema Continuidade de funções reais de uma variável real. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
Definição e exemplos,
Propriedades das funções contínuas,
Teorema do Valor Intermediário e Aplicações,
Continuidade Uniforme,
Passo 1
O enunciado pede uma dissertação sobre continuidade de funções reais de variável real, cobrindo () definição e exemplos, () propriedades de funções contínuas, () Teorema do Valor Intermediário e aplicações e () continuidade uniforme. Vamos expor cada tópico de forma clara e progressiva.
Passo 2
Definição e exemplos
A definição clássica de continuidade num ponto usa o critério –: dizemos que é contínua em se, para todo , existe tal que
Equivalentemente, é contínua em se . Há também a caracterização sequencial: toda sequência que converge a satisfaz .
Exemplos usuais de funções contínuas em todo são polinômios, funções trigonométricas, exponencial e logarítmica (no domínio ). Exemplo de descontinuidade: a função de Dirichlet definida por
é descontínua em todo ponto.
Passo 3
Propriedades das funções contínuas 1. Se f e g são contínuas em x0, então f+g, f-g, fcdot g e, se g(x0)neq0, f/g são contínuas em x0. 2. Se g é contínua em x0 e f é contínua em g(x0), então a composição fcirc g é contínua em x0. 3. Teorema de Weierstrass: se f é contínua num intervalo fechado e limitado [a,b], então f é limitada e atinge valores mínimos e máximos em [a,b]. 4. A imagem de um conjunto conexo por uma função contínua também é conexa.
Passo 4
Teorema do Valor Intermediário e aplicações
O Teorema do Valor Intermediário (TVI) afirma que, se f é contínua em [a,b] e y0 está entre f(a) e f(b), então existe cin[a,b] tal que f(c)=y0. A ideia de prova baseia-se numa bisseção do intervalo e no fato de que a imagem de subintervalos permanece conectada.
Aplicações típicas: 1. Existência de raízes: se f(a)cdot f(b)<0, então existe cin(a,b) com f(c)=0. 2. Resolver equações f(x)=k quando k está entre valores extremos de f. 3. Garantir que trajetórias contínuas de sistemas ou curvas paramétricas atinjam certos níveis.
Passo 5
Continuidade uniforme
Uma função fcolon DtoR é uniformemente contínua em D se, para todo varepsilon>0, existe um único de<a>0 (válido para todo x0in D) tal que
|x - x0|<de<aimplies |f(x)-f(x0)|<varepsilon
para quaisquer x,x0in D. A diferença para continuidade pontual é que de<a não depende de x0.
Exemplo de não uniforme: f(x)=x^2 em R não é uniformemente contínua porque, quanto mais longe de zero, maior é a inclinação. Já em qualquer intervalo fechado e limitado, pelo Teorema de Heine–Cantor, toda função contínua é uniformemente contínua.
Resposta
Discutimos a continuidade em nível pontual (varepsilon–de<a e sequencial) com exemplos clássicos, apresentamos as principais propriedades (operações, composição, imagem de intervalos e máximos e mínimos em [a,b]), expusemos o Teorema do Valor Intermediário e suas aplicações à existência de raízes e soluções de equações e, por fim, definimos continuidade uniforme, ilustrando a diferença para a continuidade simples e citando o Teorema de Heine–Cantor para garantir uniformidade em domínios compactos.