Determine o declive, se existir, da reta tangente à curva
no ponto de ordenada
e abcissa menor que -1 .
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede o declive da reta tangente no ponto em que
e a abscissa
seja menor que
. Para isso vamos (1) encontrar o ponto, (2) obter
por diferenciação implícita e (3) avaliar essa derivada no ponto encontrado.
Passo 2
Substituímos
na equação da curva para achar
:
que simplifica para
Logo
Como queremos a abscissa menor que
, o ponto é
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente
em relação a
. Aplicando regra do produto em
e lembrando que
, obtemos
Reagrupando termos em
:
Logo
Passo 4
Avaliando em
:
numerador:
numerador:
denominador:
Como o denominador é zero mas o numerador é não nulo, a derivada
é “infinita”: o declive não existe pois a reta tangente é vertical.
Resposta
O declive não existe (a reta tangente é vertical em
).