Determine o declive, se existir, da reta tangente à curva x^2-2 x y+y^2+x-2 y=1 no ponto de ordenada y=-1 e abcissa menor que -1 .

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^2-2xy+y^2+x-2y=1
e pede o declive da reta tangente no ponto em que ,y=-1 e a abscissa x seja menor que -1. Para isso vamos (1) encontrar o ponto, (2) obter dy/dx por diferenciação implícita e (3) avaliar essa derivada no ponto encontrado.

Passo 2

Substituímos y=-1 na equação da curva para achar x:
x^2 -2x(-1)+(-1)^2 + x -2(-1)=1
que simplifica para
x^2+2x+1+x+2=1 Longrightarrow x^2+3x+3=1 Longrightarrow x^2+3x+2=0
Logo
(x+1)(x+2)=0 ;Longrightarrow; x=-1 ou x=-2
Como queremos a abscissa menor que -1, o ponto é
(x,y)=(-2,,-1)

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente
x^2-2xy+y^2+x-2y=1
em relação a x. Aplicando regra do produto em -2xy e lembrando que tfracddxy=y', obtemos
2x ;-;2l(y + x,y'r);+;2y,y';+;1;-;2y'=0
Reagrupando termos em y':
2x-2y+1 ;+;y'l(-2x+2y-2r)=0 Longrightarrow y'(-2x+2y-2)=-,(2x-2y+1)
Logo
y'=-2x+2y-1-2x+2y-2

Passo 4

Avaliando em (x,y)=(-2,-1):
numerador:
-2(-2)+2(-1)-1=4-2-1=1,
denominador:
-2(-2)+2(-1)-2=4-2-2=0
Como o denominador é zero mas o numerador é não nulo, a derivada y' é “infinita”: o declive não existe pois a reta tangente é vertical.

Resposta

O declive não existe (a reta tangente é vertical em x=-2).

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