(1,5 pontos)
(a) (1,0) Prove que é uniformemente convergente, em [0,+infty), a série
sumn=1^infty x^n e^-n x
(b) (0,5) O que se pode afirmar sobre a função g(x)=sumn=1^infty x^n e^-n x ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série de funções
sumn=1^inftyx^ne^-n x
converge uniformemente em [0,infty). O conteúdo aqui é teste de Weierstrass (M-teste): basta encontrar constantes Mn tais que
l|x^ne^-n xr|<= Mn e sumn=1^infty Mn<infty

Passo 2

Observe que para cada x>=0 temos
l|x^ne^-n xr| =(x e^-x)^n
Para aplicar o M-teste precisamos estimar
supx>=0x e^-x
Defina h(x)=x e^-x. Então
h'(x)=e^-x(1-x)=0 Longrightarrow x=1,
e
supx>=0h(x)=h(1)=1e

Passo 3

Logo, para todo n e todo x>=0,
l|x^ne^-n xr| <=l(1er)^n
Como
sumn=1^inftyl(1er)^n =1/e1-1/e <infty,
pelo M-teste a série converge uniformemente em [0,infty).

Passo 4

Cada termo x^ne^-n x é contínuo em [0,infty), e sendo a soma uma convergência uniforme, a função
g(x)=sumn=1^inftyx^ne^-n x
é contínua em [0,infty). Além disso, como x e^-x<1 para todo x>=0, podemos somar a série geométrica:
g(x) =sumn=1^inftyl(x e^-xr)^n =x e^-x1 - x e^-x
Desta forma g é na verdade infinitamente diferenciável (até analítica) em [0,infty), é limitada (por 1/(e-1)), com
,g(0)=0, limxtoinftyg(x)=0 e máximo em x=1, onde g(1)=1/(e-1).

Resposta

(a) A série converge uniformemente em [0,infty) pelo teste de Weierstrass com Mn=(1/e)^n.
(b) A soma define uma função contínua (e até C^infty e analítica) em [0,infty), dada em forma fechada por
g(x)=x e^-x1 - x e^-x

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