Exercício 2. Encontre os cinco primeiros termos da série de Fourier-Legendre para
f(x)= 0, & se -1<x <= 0 x, & se 0 <= x<1

Passo 1

O enunciado quer a expansão de Fourier–Legendre de
f(x)= 0,&-1<x<=0, x,&0<= x<1
em polinômios de Legendre Pn(x).
Para isso vamos precisar da fórmula dos coeficientes
an=2n+12integral-1^1f(x),Pn(x),dx
e do fato de que f(x)=0 em [-1,0], ficando o integral apenas de 0 a 1.

Passo 2

Como f(x)=x para 0<= x<=1, temos
an=2n+12integral0^1x,Pn(x),dx
Precisamos de P0,dots,P4:
P0(x)=1,; P1(x)=x,; P2(x)=3x^2-12,; P3(x)=5x^3-3x2,; P4(x)=35x^4-30x^2+38

Passo 3

Calculemos os integrais
In=integral0^1x,Pn(x),dx
para n=0,1,2,3,4:
  1. n=0:
I0=integral0^1x,dx=tfrac12
  1. n=1:
I1=integral0^1x^2,dx=tfrac13
  1. n=2:
I2=12l(3integral0^1x^3dx-integral0^1x,dxr) =12l(3cdottfrac14-tfrac12r) =18
  1. n=3:
I3=12l(5integral0^1x^4dx-3integral0^1x^2dxr) =12l(5cdottfrac15-3cdottfrac13r) =12(1-1)=0
  1. n=4:
I4=18l(35integral0^1x^5dx-30integral0^1x^3dx+3integral0^1x,dxr) =18l(356-304+32r) =-148

Passo 4

Agora os coeficientes
an=2n+12,In:
a0=12cdottfrac12=tfrac14, a1=32cdottfrac13=tfrac12, a2=52cdottfrac18=tfrac516,
a3=72cdot0=0, a4=92cdotl(-tfrac148r)=-tfrac332

Passo 5

Os cinco primeiros termos da expansão são
f(x)approx a0P0(x)+a1P1(x)+a2P2(x)+a3P3(x)+a4P4(x),
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f(x)approx tfrac14,P0(x) +tfrac12,P1(x) +tfrac516,P2(x) +0cdot P3(x) -tfrac332,P4(x)

Resposta

f(x)approx tfrac14,P0(x) +tfrac12,P1(x) +tfrac516,P2(x) -tfrac332,P4(x)

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