Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=theta(pi-|theta|).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função fcolon(-pi,pi)toC dada por
f(theta)=theta,l(pi - |theta|r)
O conteúdo é transformada de Fourier de uma função de suporte compacto. Vamos usar a definição
widehat f(omega)=integral-pi^pif(theta),e^-iomegatheta,dtheta
e explorar a paridade de f.

Passo 2

Observe que f é ímpar, pois
f(-theta)=(-theta)l(pi-|!-theta|r)=-theta,(pi-|theta|)=-f(theta)
Para uma função ímpar temos
widehat f(omega) =integral-pi^pif(theta)e^-iomegatheta,dtheta =2,iintegral0^pi!f(theta),sin(omegatheta),dtheta
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widehat f(omega)=2,iintegral0^pitheta(pi-theta),sin(omegatheta),dtheta

Passo 3

Defina
I=integral0^pitheta(pi-theta),sin(omegatheta),dtheta =integral0^pil(pitheta-theta^2r)sin(omegatheta),dtheta =pi A - B,
onde
A=integral0^pitheta,sin(omegatheta),dtheta, B=integral0^pitheta^2,sin(omegatheta),dtheta

Passo 4

Calcule A por partes com u=theta, dv=sin(omegatheta)dtheta:
A =l[-thetacos(omegatheta)omegar]0^pi +1omegaintegral0^picos(omegatheta),dtheta =-picos(piomega)omega+sin(piomega)omega^2
Calcule B por duas integrações por partes:
B =-pi^2cos(piomega)omega +2omegaintegral0^pithetacos(omegatheta),dtheta
e
integral0^pithetacos(omegatheta),dtheta =pisin(piomega)omega +cos(piomega)-1omega^2
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B =-pi^2cos(piomega)omega +2pisin(piomega)omega^2 +2l(cos(piomega)-1r)omega^3

Passo 5

Substituindo em I=pi A - B obtém-se
I =-pisin(piomega)omega^2 -2l(cos(piomega)-1r)omega^3
Portanto
widehat f(omega) =2,i,I =-2,i,pisin(piomega)omega^2 -4,i,cos(piomega)-1omega^3 = -2,ipisin(piomega)omega^2 +4,i1-cos(piomega)omega^3

Resposta

widehat f(omega) =-2,ipi,sin(piomega)omega^2 +4,i,1-cos(piomega)omega^3

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