Determine o declive, se existir, da reta tangente à curva x^2-2 x y+y^2-x+2 y=1 no ponto de abcissa x=1 e ordenada positiva.

Passo 1

O enunciado pede o declive da reta tangente à curva implícita
x^2-2xy+y^2-x+2y=1
no ponto cuja abscissa é x=1 e com ordenada positiva.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar o(s) valor(es) de y quando x=1.
  2. Aplicar diferenciação implícita para obter y' em termos de x e y.
  3. Avaliar y' no ponto correto.

Passo 2

Substituindo x=1 na equação da curva, obtemos
1^2-2cdot1cdot y+y^2-1+2y=1
que simplifica para
1-2y+y^2-1+2y=1 Longrightarrow y^2=1
As soluções são y=pm1. Como queremos a ordenada positiva, ficamos com
y=1
portanto o ponto de tangência é (1,1).

Passo 3

Vamos diferenciar implicitamente
F(x,y)=x^2-2xy+y^2-x+2y-1=0
Derivando em relação a x:
ddx(x^2)-ddx(2xy)+ddx(y^2)-ddx(x)+ddx(2y)=0
Isso dá
2x-2l(y+x,y'r)+2y,y'-1+2y'=0
Longrightarrow 2x-2y-2x,y'+2y,y'-1+2y'=0
Agrupando os termos em y':
(-2x+2y+2),y'+(2x-2y-1)=0
e isolando y':
y'=-(2x-2y-1)-2x+2y+2 =-2x+2y+1-2x+2y+2 =2x-2y-12x-2y-2

Passo 4

Agora substituímos (x,y)=(1,1) em
y'=2x-2y-12x-2y-2
Temos
numerador=2cdot1-2cdot1-1=-1, denominador=2cdot1-2cdot1-2=-2,
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y'=-1-2=12

Resposta

O declive da reta tangente é tfrac12.

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