( 2,5 pontos) Um sistema massa-mola forçado, no regime subamortecido, é formado por uma mola de constante elástica igual a 900 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e um corpo de 4 kg . A constante de atrito do oscilador é igual a 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A amplitude do oscilador na ressonância é de 0,22 \mathrm{~m}. Calcule os valores máximo e mínimo da força externa aplicada nesse oscilador, sabendo que a equação da amplitude em função da frequência angular é.
A(w)=\frac{F_{0}}{2 m w_{0}}\left[\left(w-w_{0}\right)^{2}+\frac{\gamma^{2}}{4}\right]^{-1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule os valores máximo e mínimo da força externa aplicada ao oscilador, sabendo que a amplitude na ressonância é 0,22\\ \mathrm{m} e que a expressão da amplitude em função da frequência angular é
A(\omega)=\frac{F_{0}}{2 m \omega_{0}}\left[\left(\omega-\omega_{0}\right)^{2}+\frac{\gamma^{2}}{4}\right]^{-1/2}.
Dados fornecidos:
m=4\\ \mathrm{kg},\qquad k=900\\ \mathrm{N/m},\qquad c=2\\ \mathrm{kg/s},\qquad A(\omega_{0})=0,22\\ \mathrm{m}.
Nenhum outro dado foi pedido; a questão quer os valores extremos (máximo e mínimo) da força externa aplicada.

Passo 2

Vou identificar e explicar os parâmetros que aparecem na fórmula:
  • \omega_{0} é a frequência natural (angular) do oscilador massa-mola sem amortecimento, dada por
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicação: para um sistema massa-mola ideal a equação linear homogênea leva a soluções oscilatórias com frequência \sqrt{k/m}.
  • \gamma é o coeficiente de amortecimento por unidade de massa, isto é,
\gamma=\frac{c}{m},
onde c é a constante de atrito/dissipação com unidades \mathrm{kg/s}. Explicação: na equação padronizada do amortecimento a taxa de amortecimento por massa aparece como c/m.

Passo 3

Calcular \omega_{0} e \gamma a partir dos dados:
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{900}{4}}=\sqrt{225}=15\\ \mathrm{rad/s}.
\gamma=\frac{c}{m}=\frac{2}{4}=0,5\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Avaliar a expressão da amplitude na ressonância (ou seja, em \omega=\omega_{0}). Substituindo \omega=\omega_{0} na fórmula dada:
A(\omega_{0})=\frac{F_{0}}{2 m \omega_{0}}\left[0+\frac{\gamma^{2}}{4}\right]^{-1/2}.
Simplifico o termo entre colchetes:
\left(\frac{\gamma^{2}}{4}\right)^{-1/2}=\frac{2}{\gamma}.
Logo
A(\omega_{0})=\frac{F_{0}}{2 m \omega_{0}}\cdot\frac{2}{\gamma}=\frac{F_{0}}{m\,\omega_{0}\,\gamma}.
Explicação: isso mostra que na aproximação usada pela fórmula, a amplitude máxima (ressonância) é diretamente proporcional à amplitude F_{0} da força externa e inversamente proporcional a m\omega_{0}\gamma.

Passo 5

Isolar F_{0} a partir de A(\omega_{0})=\dfrac{F_{0}}{m\omega_{0}\gamma}:
F_{0}=A(\omega_{0})\; m\;\omega_{0}\;\gamma.
Substituo os valores numéricos (todos em TeX):
F_{0}=0,22\cdot 4\cdot 15\cdot 0,5.
Faço as contas passo a passo:
4\cdot 15=60,
60\cdot 0,5=30,
30\cdot 0,22=6,6.
Portanto
F_{0}=6,6\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação física: a expressão padrão para a força externa harmônica é F(t)=F_{0}\cos(\omega t). Assim o valor máximo que a força atinge no tempo é +F_{0} e o mínimo é -F_{0}. Portanto, usando o valor encontrado:
F_{\max}=+6,6\\ \mathrm{N},\qquad F_{\min}=-6,6\\ \mathrm{N}.
Segue confiança: chegamos a esses valores a partir da amplitude de ressonância dada e das relações \omega_{0}=\sqrt{k/m} e \gamma=c/m.

Resposta

F_{\max}=6,6\\ \mathrm{N}
F_{\min}=-6,6\\ \mathrm{N}

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