( 2,5 pontos) Um sistema massa-mola forçado, no regime subamortecido, é formado por uma mola de constante elástica igual a
e um corpo de 4 kg . A constante de atrito do oscilador é igual a
. A amplitude do oscilador na ressonância é de
. Calcule os valores máximo e mínimo da força externa aplicada nesse oscilador, sabendo que a equação da amplitude em função da frequência angular é.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule os valores máximo e mínimo da força externa aplicada ao oscilador, sabendo que a amplitude na ressonância é
e que a expressão da amplitude em função da frequência angular é
Dados fornecidos:
Nenhum outro dado foi pedido; a questão quer os valores extremos (máximo e mínimo) da força externa aplicada.
Passo 2
Vou identificar e explicar os parâmetros que aparecem na fórmula:
-
é a frequência natural (angular) do oscilador massa-mola sem amortecimento, dada por
Explicação: para um sistema massa-mola ideal a equação linear homogênea leva a soluções oscilatórias com frequência
.
-
é o coeficiente de amortecimento por unidade de massa, isto é,
onde
é a constante de atrito/dissipação com unidades
. Explicação: na equação padronizada do amortecimento a taxa de amortecimento por massa aparece como
.
Passo 3
Calcular
e
a partir dos dados:
Passo 4
Avaliar a expressão da amplitude na ressonância (ou seja, em
). Substituindo
na fórmula dada:
Simplifico o termo entre colchetes:
Logo
Explicação: isso mostra que na aproximação usada pela fórmula, a amplitude máxima (ressonância) é diretamente proporcional à amplitude
da força externa e inversamente proporcional a
.
Passo 5
Isolar
a partir de
:
Substituo os valores numéricos (todos em TeX):
Faço as contas passo a passo:
Portanto
Passo 6
Interpretação física: a expressão padrão para a força externa harmônica é
. Assim o valor máximo que a força atinge no tempo é
e o mínimo é
. Portanto, usando o valor encontrado:
Segue confiança: chegamos a esses valores a partir da amplitude de ressonância dada e das relações
e
.