Determine (com demonstração), o supremo e o ínfimo (caso existam) em \mathbb{R} de cada um dos conjuntos abaixo:
(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar, com demonstração, o supremo e o ínfimo do conjunto (0,1) em \mathbb{R}. Vamos usar a definição de ínfimo como o maior limitante inferior e de supremo como o menor limitante superior de um conjunto.

Passo 2

Mostramos que 0 é um limitante inferior de (0,1). De fato, para todo x\in(0,1) vale 0 \le x,
portanto 0 é uma cota inferior de (0,1).

Passo 3

Agora mostramos que 0 é o maior desses limitantes inferiores, isto é, o ínfimo. Seja b qualquer cota inferior de (0,1). Se b>0, então o número
x = \frac{b}{2}
satisfaz 0<x<b e, como b<1 (já que b teria de ser ≤ todo x<1), temos x\in(0,1). Mas isso contradiz o fato de b ser cota inferior (pois exigiria b\le x). Logo não pode ocorrer b>0, ou seja, todo limitante inferior b deve satisfazer b\le0. Concluímos que
\inf(0,1) = 0.

Passo 4

Mostramos que 1 é um limitante superior de (0,1). De fato, para todo x\in(0,1) temos x \le 1,
logo 1 é uma cota superior de (0,1).

Passo 5

Para ver que 1 é o menor desses limitantes superiores, seja B qualquer cota superior de (0,1). Se B<1, então o número
x = \frac{B+1}{2}
satisfaz B<x<1 e portanto x\in(0,1). Isso contradiz B ser cota superior (pois exigiria x\le B). Logo não pode ocorrer B<1, ou seja, todo limitante superior B deve satisfazer B\ge1. Concluímos que
\sup(0,1) = 1.

Resposta

\inf(0,1) = 0 \sup(0,1) = 1

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