Determine (com demonstração), o supremo e o ínfimo (caso existam) em
de cada um dos conjuntos abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, com demonstração, o supremo e o ínfimo do conjunto
em
. Vamos usar a definição de ínfimo como o maior limitante inferior e de supremo como o menor limitante superior de um conjunto.
Passo 2
Mostramos que
é um limitante inferior de
. De fato, para todo
vale
portanto é uma cota inferior de
.
portanto
Passo 3
Agora mostramos que
é o maior desses limitantes inferiores, isto é, o ínfimo. Seja
qualquer cota inferior de
. Se
, então o número
satisfaz
e, como
(já que
teria de ser ≤ todo
), temos
. Mas isso contradiz o fato de
ser cota inferior (pois exigiria
). Logo não pode ocorrer
, ou seja, todo limitante inferior
deve satisfazer
. Concluímos que
Passo 4
Mostramos que
é um limitante superior de
. De fato, para todo
temos
logo é uma cota superior de
.
logo
Passo 5
Para ver que
é o menor desses limitantes superiores, seja
qualquer cota superior de
. Se
, então o número
satisfaz
e portanto
. Isso contradiz
ser cota superior (pois exigiria
). Logo não pode ocorrer
, ou seja, todo limitante superior
deve satisfazer
. Concluímos que