Um diodo de silício tem uma corrente de saturação de 2 nA em 25^{\circ} \mathrm{C}. Qual o valor de Is em 75^{\circ} \mathrm{C} ? E em 125^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá um diodo com corrente de saturação em \,25^\circ\mathrm{C} igual a \,I_S(25^\circ\mathrm{C})=2\\ \mathrm{nA}. Preciso encontrar o valor de \,I_S em \,75^\circ\mathrm{C} e em \,125^\circ\mathrm{C}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \,I_S(25^\circ\mathrm{C}) = 2\\ \mathrm{nA} = 2\times10^{-9}\\ \mathrm{A}.
  • Temperaturas pedidas: \,75^\circ\mathrm{C} e \,125^\circ\mathrm{C}.
  • Vou trabalhar em Kelvin ao longo dos cálculos (conversão obrigatória para usar fórmulas térmicas).

Passo 2

Apresento a relação usada para variar a corrente de saturação com a temperatura e explico o que cada termo significa.
Fórmula que vou usar (forma usual obtida a partir da dependência da concentração intrínseca do semicondutor):
I_S(T)=I_S(T_0)\left(\dfrac{T}{T_0}\right)^{3}\exp\!\left[-\dfrac{E_g}{k}\left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_0}\right)\right].
Significado dos símbolos:
  • I_S(T): corrente de saturação no corpo de prova à temperatura T (em Kelvin).
  • I_S(T_0): corrente de saturação conhecida à temperatura de referência T_0.
  • T e T_0: temperaturas em Kelvin.
  • E_g: energia de gap do silício (em electron-volts, eV).
  • k: constante de Boltzmann expressa em eV/K (assim E_g/k fica em unidades de K).
    Explicação qualitativa da fórmula (simples e direta): a parte \left(\tfrac{T}{T_0}\right)^3 vem dos fatores de densidade de estados e do comportamento em temperatura da concentração intrínseca; o fator exponencial domina e vem do termo \exp(-E_g/(kT)) que aparece duas vezes ao relacionar I_S com n_i^2 (portanto \exp[-E_g/(kT)] no produto final).

Passo 3

Defino os valores numéricos e conversões que vou usar:
  • Vou tomar \,E_g = 1,12\\ \mathrm{eV} (valor típico do silício em torno de temperatura ambiente).
  • \,k = 8,617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • Temperaturas convertidas:
    • 25^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_0 = 298,15\\ \mathrm{K}.
    • 75^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_1 = 348,15\\ \mathrm{K}.
    • 125^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_2 = 398,15\\ \mathrm{K}.
  • Corrente inicial: I_S(T_0)=2\times10^{-9}\\ \mathrm{A}.
Obs.: escolhi E_g constante e a potência 3 na dependência polinomial porque é a forma comum obtida por considerar n_i^2\propto T^3\exp(-E_g/(kT)). Essa é uma aproximação muito utilizada em exercícios; se alguém usar T^2 em vez de T^3 os resultados mudam um pouco, mas a dependência exponencial continua predominante.

Passo 4

Cálculo de \,I_S em \,75^\circ\mathrm{C} ( T_1=348,15\\ \mathrm{K}) passo a passo.
  1. Calculo do fator polinomial:
\left(\dfrac{T_1}{T_0}\right)^3=\left(\dfrac{348,15}{298,15}\right)^3 \approx 1,5939.
  1. Calculo da diferença das recíprocas das temperaturas:
\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_0}=\dfrac{1}{348,15}-\dfrac{1}{298,15}\approx -0,00048206\\ \mathrm{K}^{-1}.
  1. Calculo de \dfrac{E_g}{k}\big(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_0}\big):
\dfrac{E_g}{k}= \dfrac{1,12}{8,617\times10^{-5}}\approx 12997,1\\ \mathrm{K},
-\dfrac{E_g}{k}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_0}\right) = -12997,1\times(-0,00048206)\approx 6,2646.
  1. Exponencial:
\exp(6,2646)\approx 523,63.
  1. Fator total multiplicativo:
\left(\dfrac{T_1}{T_0}\right)^3\exp\!\left[-\dfrac{E_g}{k}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_0}\right)\right]\approx 1,5939\times523,63\approx 834,82.
  1. Finalmente:
I_S(T_1)=I_S(T_0)\times 834,82 = 2\times10^{-9}\times 834,82 \approx 1,6696\times10^{-6}\\ \mathrm{A}.
Arredondando sensato para três dígitos significativos:
I_S(75^\circ\mathrm{C})\approx 1,67\times10^{-6}\\ \mathrm{A} \quad(\text{aprox. }1,67\\ \mu\mathrm{A}).

Passo 5

Cálculo de \,I_S em \,125^\circ\mathrm{C} ( T_2=398,15\\ \mathrm{K}) passo a passo.
  1. Fator polinomial:
\left(\dfrac{T_2}{T_0}\right)^3=\left(\dfrac{398,15}{298,15}\right)^3 \approx 2,3810.
  1. Diferença de recíprocas:
\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_0}=\dfrac{1}{398,15}-\dfrac{1}{298,15}\approx -0,00084246\\ \mathrm{K}^{-1}.
  1. Produto com E_g/k:
-\dfrac{E_g}{k}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_0}\right) = -12997,1\times(-0,00084246)\approx 10,9469.
  1. Exponencial:
\exp(10,9469)\approx 56754.
  1. Fator total:
2,3810\times56754\approx 135179.
  1. Corrente:
I_S(T_2)=2\times10^{-9}\times135179 \approx 2,7036\times10^{-4}\\ \mathrm{A}.
Arredondando:
I_S(125^\circ\mathrm{C})\approx 2,70\times10^{-4}\\ \mathrm{A} \quad(\text{aprox. }270\\ \mu\mathrm{A}).

Passo 6

Interpretação curta e aviso prático:
  • Observa-se que \,I_S aumenta muito com a temperatura — aqui saltou de 2\\ \mathrm{nA} para cerca de 1{,}7\\ \mathrm{\mu A} a 75^\circ\mathrm{C} e para cerca de 270\\ \mathrm{\mu A} a 125^\circ\mathrm{C}. Isso mostra porque diodos têm corrente de fuga muito sensível à temperatura.
  • Aviso: os valores dependem das aproximações feitas (valor fixo de E_g, uso do expoente 3 na potência de T). Em problemas de prova essa é a forma padrão; em medições reais pode haver pequenas diferenças, mas a ordem de grandeza e a forte dependência exponencial são reais.

Resposta

I_S(75^\circ\mathrm{C}) \approx 1,67\times10^{-6}\\ \mathrm{A}
I_S(125^\circ\mathrm{C}) \approx 2,70\times10^{-4}\\ \mathrm{A}

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