Determine a densidade de corrente de deslocamento, JD, associada com o campo magnético B=A1 sin (4 x) cos (omega t-beta z) i+A2 cos (4 x) sin (omega t-beta z) k. Considere JC=0.

Passo 1

O enunciado pede a densidade de corrente de deslocamento JD associada ao campo magnético
B=A1sin(4x)cos(omega t-beta z),imath + A2cos(4x)sin(omega t-beta z),k
sabendo que a corrente de condução JC=0. Vamos usar a lei de Ampère–Maxwell em um meio linear isotrópico (vácuo) onde
H=Bmu0, nablatimesH=JC+partialDpartial t
e, portanto, com JC=0,
JD=partialDpartial t =nablatimesH =1mu0;nablatimesB

Passo 2

Calcular o rotacional de B. Como B=(Bx,0,Bz), temos
(nablatimesB)x =partial Bzpartial y-partial Bypartial z=0,
(nablatimesB)y =partial Bxpartial z-partial Bzpartial x,
(nablatimesB)z =partial Bypartial x-partial Bxpartial y=0

Passo 3

Encontrar explicitamente (nablatimesB)y.
partial Bxpartial z = A1sin(4x),l[-betasin(omega t-beta z)r] = -beta A1sin(4x)sin(omega t-beta z),
partial Bzpartial x = A2,l[-4sin(4x)r]sin(omega t-beta z) = -4A2sin(4x)sin(omega t-beta z)
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(nablatimesB)y =-beta A1sin(4x)sin(omega t-beta z) -(-4A2sin(4x)sin(omega t-beta z)) =(4A2-beta A1)sin(4x)sin(omega t-beta z)

Passo 4

Como JD=(1/mu0),nablatimesB e só há componente na direção jmath, obtemos
JD =1mu0,(4A2-beta A1)sin(4x)sin(omega t-beta z),jmath

Resposta

boxed JD =4A2-beta A1mu0 ;sin(4x),sin(omega t-beta z);jmath

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